下面介绍一些实例来说明利用矩阵对策分析与解决问题。

图9-3　某城市居民的分布情况

例9.9某城市由汇合的三条河分割为三个区，如图9-3所示。图中的比例为城市居民分布情况。目前该市还没有溜冰场，所以有两家公司准备投资建设溜冰场，其中公司甲打算建两个，而公司乙只准备建一个。每个公司都知道，如果在城市的某一个区域只有一个溜冰场，则该溜冰场独揽该区全部业务；如果有两个溜冰场，则平分市场；若没有溜冰场，则该区的业务将平均分散到三个溜冰场中。每个公司都想把溜冰场设在营业额最多的地方。试分析两个公司的策略及均衡结果。

解在这个对策问题中，有两个局中人：公司甲和公司乙。每家公司的策略有3个，如表9.3所示。

表9.3　公司甲、乙的策略

表9.3中，“1”表示在该区建溜冰场，“0”表示不在该区建溜冰场。当公司甲选择策略α1时，即在区域A和B建立溜冰场，如果公司乙选择策略β1（即在区域A建溜冰场）时，也就是在局势(α1,β1)的情况下，公司甲所占有的市场份额为

公司乙所占有的市场份额为

同样可得到其他局势下，公司甲、乙的市场占有情况如表9.4所示。

表9.4　不同局势下公司甲、乙的市场占有情况

可以发现，两个局中人的收益之和并不是零。为了将其转化为零和对策，我们将甲、乙公司的市场份额都减去50%后，得到了一个零和对策问题，如表9.5所示。

表9.5　公司甲、乙的矩阵对策(www.daowen.com)

由表9.5可以得到

所以，对策分析的结果是公司甲的最优策略是在A,B或A,C两个区域建溜冰场，而公司乙的最优策略是在A区建设自己的溜冰场。这样公司甲占有70%的市场份额，而公司乙将占30%的市场份额。

例9.10市场中只有甲、乙两个企业生产手机，它们都想在经营管理上采取一定措施而获得更多的市场份额。甲企业可以采用的措施有：（1）降低产品价格；（2）提高产品质量；（3）推出新产品。乙企业考虑采取的策略措施有：（1）增加广告费用；（2）增设维修网点，加强售后服务；（3）改进产品性能。由于两家企业的财力有限，都只能采取一个措施。假定两家企业所占的市场总份额一定，由于各自采取的措施不同，通过预测今后两个企业的市场占有份额变动情况如表9.6所示（表中正值为甲企业所增加的市场份额，负值为甲企业所减少的市场份额）。试求这两个企业各自的最优策略。

表9.6　甲、乙企业的措施与收益

解易见，此对策无法简化且无纯策略意义下的解。因为甲的赢得矩阵A中有负元素，所以令K=12，把K加到A中的每一个元素上得A′，

建立相应的两个互为对偶的线性规划模型如下：

求解得到

所以，对策的解为