下面以一个实例来说明层次分析的原理。

某风险投资机构准备对三个风险项目A,B,C中的一个最佳项目进行投资。在对风险项目进行选择时，该机构主要考虑如下因素：

(1)技术水平（C1）：指技术开发方面的各种不确定因素，如技术难度、技术适用性、技术成熟性、技术配套性、技术生命周期等；

(2)市场潜力（C2）：指难以确定的市场需求、产品竞争力、上市时机、市场扩展速度、潜在竞争者影响、产品替代性等；

(3)管理水平（C3）：主要指人员素质与经验、领导判断与决策的科学化、企业组织合理性、项目管理机制等；

(4)领导者素质（C4）：主要指创业者的专业知识水平、领导水平、能力、性格等因素。

对于上述问题，为了便于理清分析思路，层次分析法首先需要构造一个层次结构模型，如图8-9所示。

建立问题的层次结构模型是AHP法中最重要的一步，把复杂问题分解成为元素的各个组成部分，并按元素的相互关系及其隶属关系形成不同的层次，同一层次的元素作为准则对下一层次的元素起支配作用，同时它又受

图8-9　层次结构模型

上一层次元素的支配。最高层次只有一个元素，它表示决策者所要达到的目标，称为目标层；中间层次一般为准则、子准则，表示衡量是否达到目标的判断准则，称为准则层；最低层表示要选用的解决问题的各种措施、决策、方案等，称为方案层。构造好各类问题的层次结构模型是一项细致的分析工作，需要一定经验。根据层次结构图确定每一层的各因素相对重要性的权数，直到计算出方案层各方案的相对权数，这就给出了各方案的优劣次序，以便供决策使用。

利用层次模型确定元素的权数是AHP法的核心内容。设有n个目标（或属性）A1,A2,···,An，它们的权重分别为w1,w2,···,wn，且满足

若将它们的权重两两比较，其比值可构成一个n×n矩阵A，通常称为判断矩阵，

若再以权重向量w=(w1,w2,···,wn)T右乘A矩阵，则可得到

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即

由线性代数知识可知，w为矩阵A的特征向量，n为特征值。也就是说，如果已知权重两两比较矩阵A，求得其特征向量，即可得到各因素的权重。但是A矩阵是因素权重已知的条件下得到的，所以可以根据决策者对因素重要性的两两比较的结果构造得到一个¯A矩阵。在构造因素重要性的两两比较矩阵时，Saaty根据一般人的认知习惯和判断能力，引入1～9的标度体系，如表8.13所示。

表8.13　AHP法标度体系

判断矩阵A具有如下特点：

而且可以证明，判断矩阵具有唯一非零的最大特征值λmax=n。

若给出的判断矩阵¯A具有上述特征，则该矩阵具有完全一致性。然而人们对复杂事物的各因素采用两两比较时，不可能做到判断的完全一致，而存在着估计误差，这必然导致特征值及特征向量也有偏差。为了避免误差太大，要对¯A的一致性进行检验，一致性指标（Consistence Index，CI）为

其中λmax为判断矩阵¯A的最大特征值。当CI=0时，¯A完全一致；CI值越大，判断矩阵的一致性越差。一般只要CI≤0.1，就可以认为判断矩阵的一致性可以接受，否则要重新进行两两比较判断。

另外，判断矩阵的阶数n越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高阶判断矩阵一致性的要求。当判断矩阵的阶数n较小时，应提高对判断矩阵一致性的要求。所以引入不同阶矩阵的随机指标（Random Index，RI），如表8.14所示，并取CI与RI的比值CR作为衡量判断矩阵一致性的指标，即

同样要求CR值不能超过0.1。

表8.14　n阶矩阵的RI值