在平面内，三角形是最简单、最基本的封闭图形，人们用三角形的知识去认识、去研究平面内复杂的直线图形，对各种图形中的点、线、面的关系的研究、对角度、长度、面积的计算，无不以三角形的知识为出发点。可以这样说，没有三角形，便没有平面几何学，甚至没有一切几何学。

在空间，最简单、最基本的立体是四面体。它具有最少的顶点、最少的棱和最少的面。不存在比四面体更少的顶点、棱和面的立体。四面体在立体几何中的地位，应该与三角形在平面几何中的地位相当。

在平面内认识、研究三角形比较容易，因此，关于三角形的性质早已被人们研究得清清楚楚，用三角形去研究其他平面图形也就显得比较容易。为了更好的研究空间立体，人们自然要先研究比较简单的四面体。四面体立于空间，认识它就不像认识三角形那样容易，同时，它本身又有独特的性质，人们难以解释清楚，所以，研究四面体就显得困难重重。比如四面体的体积问题，就是一个最令人困惑的问题。

我们都知道，三角形的面积等于底乘高的一半，同时也知道，这个公式是用割补方法，把三角形变成矩形得到的。因此，人们自然想到对四面体也施以割补术，将其拼成立方体，再从立方体体积公式导出四面体体积公式。人类为此奋斗了两千多年，都没有获得成功。1900年，数学大师希尔伯特向新世纪的数学家提出了23个重大的数学问题，其中就包含四面体体积问题。一年后，数学家M·德恩证明了一个结论：两个体积相等的多面体一般不能分割成相同数目的部分，使两两对应全等。特别是正四面体不能分割成许多块，重新拼凑成立方体。这就彻底否定了通过割补术求得四面体体积公式的途径。但是，这并不是说没有办法得到四面体体积公式。

最先求得四面体体积公式的，不一定是阿基米德。但是他求四面体体积公式的方法却是值得推崇的。首先，他用装沙子的实验方法，量出四面体的体积是同底等高的三棱柱体积的三分之一。然后，又用无限逼近的方法证明了他的这一发现。

设四面体的高为h，将其n等分，过各分点作底面△ABC的平行平面截得一系列与△ABC相似的△AiBi Ci，i＝1，2…n。

当n很大时，高的分点很密。棱台Ai－1Bi－1Ci－1—AiBiCi和相应的棱柱体积相差甚微。

由相似三角形的性质，有

又有相似三角形面积之比等于边长的平方比。若令△ABC的面积为S，则

棱台Ai－1Bi－1Ci－1—AiBiCi的体积介于以△Ai－1 Bi－1Ci－1为底面和以△AiBiCi为底面，高同为的两个柱体体积之间，即(www.daowen.com)

i＝1,2…n。

将这n个不等式相加，得到

这里V表示四面体体积，于是

由此，得到

当n无限增大时，上列不等式两边无限靠近。于是必有

这样，我们用两边夹逼的办法得到了四面体的体积公式。

阿基米德用两边夹逼对四面体体积公式的证明，既严格，又漂亮。

阿基米德先量后证得到四面体体积公式的事例，至少有两个方面能引起我们的思考，第一是通过实验发现真理，这不仅是物理、化学这些学科的科学研究中经常会用到，即使像数学这样的学科，也能用到。第二是两面夹逼的思想方法，也是能使我们获益匪浅的。这种思想方法阿基米德还用来用圆的内接正多边形和圆外切正多边形来两面夹逼圆周，从而得到圆周长与圆面积公式，并求得圆周率的近似值。难怪两千多年后的实数理论，也从阿基米德那里得到启示。