数的范围从自然数起不断扩充是和解方程联系在一起的。在自然数范围内x＋a＝0无解，引进了负数以后，这个方程就有解了。同样，方程ax＋b＝0（a、b为整数）在整数范围内可能无解，为使其总有解，人们引进了有理数。为使x2＝b（b＞0）这一类方程有解，数学家引进了无理数，从而有了实数，但解方程x2＋b＝0（b＞0）时又遇到麻烦。

古人一直认为x2＝b（b＜0）之类的方程在实数范围内无解，原因是任何实数的平方都是非负数。

公元1484年，法国数学家舒克在他的著作«算术三论»中，解二次方程x2－3x＋4＝0，得，这里出现了虚数——两个共轭虚数。他声称，这是不可能的。

1545年，意大利数学家卡尔达诺发表了他的名作«大术»，书中公布了三次方程x3＋px＋q＝0的求根公式

法国数学家笛卡尔最初也只承认正数，不承认负数和虚数，他认为虚数并不是数；英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹也曾把虚数当作不可接受的东西。1702年莱布尼兹说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是介于存在和不存在之间的两栖动物。”

即使是对复数的发展作出很大贡献的数学家欧拉，开始时也曾认为：“一切形如的数学式子，都是不可能的，虚构的，因为他们是负数的平方根，对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”

在很长时间里，人们把虚数看作不可接受的“虚数”，谁也说不出它们有什么用处。随着时间的推移，人们才逐步认识了虚数的本质。

1730年，法国数学家棣莫佛发现了公式（cosθ＋isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ，后来被人们称作棣莫佛定理。

1732年，欧拉成功地利用，ω2，给出了卡尔达诺曾经研究过的三次方程x3＋px＋q＝0（p＞0，q＞0）的三个根的一般公式。于1748年发现了著名的欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ。1777年，欧拉在递交给彼得堡科学院的论文«微分方程»中，首次使用符号i表示－1的一个平方根－1，并系统地建立了复数的理论。(www.daowen.com)

1747年，法国数学家达朗贝尔发现，对于虚数，如果按多项式的四则运算进行，那么它们的结果都可以写成（其中a、b是实数）的形式。

1797年，挪威测量学家威塞尔在递交给丹麦科学院的论文中，给出了复数的几何意义，正式提出把复数a＋bi用平面上的点（a，b）来表示，用平面上的向量表示，初步建立了复平面的概念，真正作出了虚数的几何解释。

1806年，德国数学家高斯发现并公布了虚数的图像法，1831年给出了复数的几何表示的详细说明。他采用有序数对（a，b）代表复数a＋bi，把复数的和与积用纯代数法定义，给复数代数化，第一次深刻地揭露了复数的“数”的性质，也是高斯在1832年首先使用并提出了“复数”这个名词。

1906年，日内瓦的阿工第一次用“模”这个词表示向量a＋bi的长度。

从1484年到1832年，在几百年内，经过许多数学家的长期努力，终于揭开了“虚数”的神秘面纱，显出它们的庐山真面目——“虚数不虚”。

18世纪以后，复数的理论日益完善，人们发现了复数有许多良好的性质，特别是复数与坐标平面上的点一一对应，原则上可使几何图形的各种关系转化为复数之间的关系，而复数可以进行运算，便于操作。因此，许多代数和几何问题，用复数运算来处理，有很大的方便，并在数学、力学、电学等学科中显示了它的独特地位，成为科学技术上普遍作用的一种重要数学工具。从此，对复数的研究日益展开，特别在19世纪中叶以后，这项研究已逐渐发展成为一个庞大的数学分支——复变函数论。