一个卖矛与盾的小贩拿起一根矛说：“我的矛是最锐利的，可以戳穿任何盾。”接着又拿起一个盾叫卖：“我的盾是最坚固的，任何矛也不能戳穿它。”旁边一智者问他：“用你的矛戳你的盾，如何？”小贩无言以对。这就是六年级语文课本中的成语故事——«自相矛盾»。这个小贩的广告词就是一个悖论。

悖论就像“不要读这一页上的任何东西”一样，其陈述或表现出自我矛盾，或造出无意义和令人吃惊的结论，或形成无休止的循环论证。多少世纪来，悖论不仅使人迷惑，造成了逻辑思维上的混乱，同时也引起了人们的兴趣和不安。

古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。

公元前5世纪，芝诺用他关于无限、连续及部分和等知识，创造了以下著名悖论：

二分法悖论：一位旅行者步行前往一个特定的地点。他必须先走完一半的距离，然后走剩下距离的一半，然后再走剩下距离的一半，永远有剩下部分的一半要走。因而这位旅行者永远走不到目的地！

阿基里斯和乌龟：在阿基里斯和乌龟之间展开一场比赛。乌龟在阿基里斯前头1000米开始爬，但阿基里斯跑得比乌龟快10倍，比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍然在他前头100米。而当阿基里斯又跑了100米到达乌龟前此到达的地方时，乌龟又向前爬了10米。芝诺争辩说，阿基里斯将会不断地逼近乌龟，但他永远无法赶上它。

飞箭静止说：箭在运动过程中的任一瞬间时必在一个确定位置上，即是静止的，而时间是由无限多个瞬时组成的，因此箭就动不起来了。

这三个悖论后来因遭亚里士多德的批驳而逐渐湮没无闻，直到19世纪下半叶才再度引起学者们的注意和研究，并给予重新评价。在公元前4世纪，芝诺悖论虽然受到亚里士多德的貌似有理的批驳，但其实并没有驳倒，并没有缓和数学思想所受到的震荡。

下面是古往今来的一些脍炙人口的悖论：

欧布利德悖论：欧布利德是公元前4世纪古希腊的哲学家。他争辩说：人们绝不可能拥有一堆沙。推理如下：一粒沙自然构不成一堆沙，如果在一粒沙上加上一粒沙，它们也构不成一堆沙。如果在不是一堆的沙上加上一粒沙，仍然构不成一堆。因而人们决不会有一堆沙！

此外，欧布利德还以下面的悖论而享誉：“我所说的话都是假的。”

埃普门尼德悖论：

埃普门尼德是克利特岛的人，他的悖论是一句简单的陈述：“所有克利特岛的人都是说谎者。”

数学中的悖论，内容更加广泛。它包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的错误命题和形似错误的正确命题等等。

悖论实际上蕴含着真理，不过它是真理的倒置。当人们把它正过来，或者把它解释清楚之后，便会获得认识上的飞跃。(www.daowen.com)

数学中的悖论极具魅力，常常使人流连忘返，乐在其中，又常常令人焦躁不安，欲罢不能。

代数悖论：若a＝b，则1＝2。

数学中最著名的悖论是罗素1902年提出来的，是用来攻击集合定义的。

集合分成两类：一类是集合不是它本身的元素，一类是集合是它本身的元素。一个集合不包含自身作为元素，我们称之为正规的。反之，如果一个集合包含自身作为元素，我们就称之为非正规的。现在的问题是：所有正规集合所组成的集合是正规的呢？还是非正规的？

如果它是正规的，自然不能包含自身作为元素。但这是所有正规集合的集合，它必须包含全部的正规集合，也就是必须包含这个集合在内，这表明它是非正规的，矛盾。

如果它是非正规的，那么它包含自身作为元素，但根据假定该集合只包含正规集合，又矛盾。

他在«数学原理»中给出的上述悖论不易理解，1918年，他用一个生动的“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论。

一理发师宣称：他给所有自己不刮脸（刮胡子）的人刮脸，而不给自己刮脸的人刮脸。

一智者问：理发师先生，你是否应该给自己刮脸呢？

理发师无言以对。假如他给自己刮脸，就与他宣称的“不给自己刮脸的人刮脸”相矛盾。假如他不给自己刮脸，根据他的原则，他就应该给自己刮脸，也产生了矛盾。

高明的罗素针对集合定义制造的悖论，使整个数学界极为震惊，让所有信赖集合论的数学家掉进了陷阱，从根本上动摇了康托尔的集合论体系，使数理逻辑学家不得不创造新的公理化体系，再也不敢对集合作严格定义，只好把“集合”当作不加定义的“原始项”，如同平面几何中把点、直线和平面当作不加定义的原始项一样。这种做法是合理的。事实上，总是存在不可解释的事物。罗素悖论对于德国数学家G·弗里兹来说是一种毁灭性打击。此时他刚刚结束«论算术的逻辑发展»第二卷的写作。在该卷附录的开头他这样写道：“最使一位科学家伤心的是在他工作即将完成之际却发现基础崩溃了。罗素的一封信把我推上了这样一种境地。”

在我们每天的活动中，或在创造和界定数学体系和概念的过程中，悖论既是一个难以应付的对手，又是一种学习的工具。数学历史上发生的种种悖论，往往为其未来的发展提供了契机。例如，芝诺的三个悖论深刻地揭示了有限与无限、连续与离散之间的矛盾，并首次试图以辩证观点分析这些矛盾，从而在数学史上享有不朽的价值。芝诺的悖论还促进了希腊人对数学严密思维的追求，为了做到这一点，他们宁愿放弃一时难以严密的代数，而把全部精力投注于建立几何学严密体系的努力中，其结果是欧几里得«几何原本»的刻意追求严格性。又如，平行公理形似定理又不是定理，在解决此悖论的过程中导致非欧几何的产生。正方形对角线与边长之比应该是一个数，但又不是一个（人们当时所理解的）数，从而引出了无理数。

数学的悖论已成为发现的王道乐土。