三角形是最简单的几何图形，也是我们最熟悉的几何图形。我们知道三角形有三条边、三个内角、三个顶点、三条中线、三条内角平分线、三条高线。我们还发现或证明过，三角形的三条中线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的重心；三角形的三条内角平分线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的内心；三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。此外，三角形三边的垂直平分线也交于一点，这个点叫做三角形的外心。

在任何一个三角形中都有9个很特别、很有趣的点，那就是三角形各边的中点、三条高的垂足、各顶点与垂心所连线段的中点。这九个点的特别是容易理解的，为什么说它们有趣呢？

圆是最优美的图形。不在同一直线上的三个点确定一个圆，即过不在同一直线上的三点有并且只有一个圆。而四点共圆是有条件的，条件是以这四点为顶点的四边形对角互补。

由三点共圆和四点共圆，可以得到一个与以上九点有关的重要的、有趣的圆，叫做九点圆：三角形三边的中点、三条高的垂足、垂心与各顶点所连线段的中点，这九点所在的圆。也就是说，这九点在同一个圆上。

亲爱的读者，你有没有兴趣证明这九点在同一个圆上？如果有兴趣，不妨试一试！

大数学家欧拉在1765年就发现了九点圆，因此人们称之为“欧拉圆”。这是几何学中很著名的问题，在18世纪与19世纪之交已广为流传。1804年英国的培亚敏俾凡在雷榜«算理之库»卷一第十八章中，正式提出“九点”问题，布德卫斯与韦唐给出了证明。1821年格盖尼和1822年彭色列先后正式发表这一问题。1822年德国人费尔巴哈在«直角三角形的一些特殊点的性质»里，发表了自己的证法，并且说九点圆与内切圆及三个旁切圆相切。这就是人们通常所称的“费尔巴哈定理”。1827年维兹在«哲学杂志»发表一篇论文，对九点圆进行了比较详细的论述。

讨论九点圆，不仅在于它本身的价值，而且通过它可以寻求三角形内心、外心、垂心相对位置，以便深刻地认识几何学中最基本的角色——三角形。

九点圆的证法很多，但证法比较繁琐。下面介绍两种比较简明的证法。

证法一设△ABC各边的中点分别为M、N、K，各条高的垂足分别是D、E、F，垂心为H，AH、BH、CH的中点分别是L、P、Q。我们证明M、N、K、D、E、F、L、P、Q这9个点在同一个圆周上。

如图1，△LDM、△PEN、△QFK都是直角三角形。图1

图1

过直角三角形三顶点可作一圆，这圆是以斜边中点为圆心，斜边的一半为半径的圆。因此，要证明九点圆，只要证明这三个直角三角形的外接圆重合即可，也就是证明：LM＝PN＝QK，且互相平分。

如图2，连MN、NL、LP、PM。

∵L、N分别是AH、AC的中点，

∴NL∥CH，且。

同理，PM∥CH，。

∴NL∥PM,NL＝PM。

∴MNLP是平行四边形。

又∵NL∥CF，LP∥AB，而CF⊥AB，

∴平行四边形MNLP是矩形。图2

图2

∴四边形MNLP的对角线ML、PN相等且互相平分。

同理可证另一矩形PQNK的对角线PN、QK也相等且互相平分，因此九点共圆。(www.daowen.com)

证法二设△ABC三条高线的垂足为D、E、F，垂心为O。过D、E、F画圆交三条高于M、N、L。先证M为BO的中点。B、D、O、F四点共圆。BO是该圆的直径。

在过D、M、F、L、E、N的圆中，

∠FMO＝∠FDE,

∠ABE＝∠ACF。

在 过B、D、O、F的圆中，

∠ABE＝∠FDO。

在 过C、D、O、E的圆中，

∠ACF＝∠EDO。

于是

BO为过B、D、O、F圆的直径，∠FDO是圆周角，且为∠FMO之半，故∠FMO是圆心角。因此，M是BO的中点。

同理，N、L是CO、AO的中点。

又设过D、E、F的圆交三边于G、H、K，我们先证G是BC的中点。

∵M、D、G、E共圆，

∴∠MGB＝∠MED,

∵O、D、C、E共圆，

∴∠MED＝∠OCB。

于是

∠MGB＝∠OCB。

由此，MG∥OC。

由于M是BO的中点，G当然是BC的中点。

同理，H、K分别是CA、AB的中点。

这就证明了九点共圆。