三角形中除了有漂亮的九点圆外，还有一条比较著名的直线。

1765年欧拉在一篇论文中证明了一个重要结论：三角形的外心、重心和垂心共线。后人把这条直线叫做“欧拉线”。

如题，O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，求证：O、G、H三点在同一条直线上。

证法一：连中线AM（则G在AM上）、OH、AH。设OH与AM交于G’，于是OM∥AH，

∴△OG′M∽△HG′A。

∴。

再连HC、HB，作MF∥CH，交BH于F，作FE

∥HA交AB于E，连EO。

∵MF∥CH，M是BC的中点，

∴F是HB的中点。

∵FE∥HA,

∴E是AB的中点。

∴OE⊥AB。

∵CH⊥AB,

∴OE∥CH。

∵OM∥AH∥EF,

∴四边形EFMO是平行四边形。

∴EF＝OM。

∵,

∴。

即。

则。(www.daowen.com)

∴G′是△ABC的重心，因而G′与G重合。

∴O、G、H三点共线。

证法二：作△ABC的外接圆，连接并延长BO，交外接圆于点D。连接AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G′。

∵BD是直径，

∴∠BAD、∠BCD是直角。

∴AD⊥AB,DC⊥BC。

∵CH⊥AB,AH⊥BC,

∴DA∥CH,DC∥AH。

∴四边形ADCH是平行四边形，

∴AH＝DC。

∵M是BC的中点，O是BD的中点。

∴。

∴。

∵OM∥AH,

∴△OMG’∽△HAG’。

∴。

∴G′是△ABC的重心。

∴G与G′重合。

∴O、G、H三点在同一条直线上。

欧拉线有多种证明方法，有兴趣的读者不妨试一试，看能找出几种证明方法。

我们提出欧拉线、证明欧拉线，并不单纯是为了向读者介绍有关知识，更重要的是想通过九点圆、欧拉线这些著名的内容的介绍，让读者了解前辈数学家善于观察事物、善于发现问题，更好的学习欧拉等著名数学家观察问题的仔细和发现规律的敏锐。