俗话说，愚者千虑必有一得，智者千虑必有一失。即使是聪明过人的数学家，有时候也难免被一些伪装所蒙蔽。在数学发展的历史中，有许多智力超人的数学家也有被骗的故事。伪素数就是一个值得一提的例子。

法国业余数学家费马1640年6月给法国神甫数学家梅森的信中提出一个命题：若n是素数，则2n－2可被2n除尽。同年10月18日给法国数学家德贝西的信中又说，他已证明了一个更广的命题：若p是一个素数，且a不能被p整除，则ap－1－1能被p整除（等价的说法是ap－a能被素数p整除）。后人称此为费马小定理。费马小定理于1736年被欧拉证明。

长期以来，在笔算验证了对于1＜n＜300的整数来说，能整除2n－2的奇数n都是素数，于是人们似乎认为，费马小定理的逆命题也成立，甚至有人错误地认为“n是素数，当且仅当n能整除2n－2时”。特别是德国数学家莱布尼兹曾经在1680年6月和1681年12月两次宣布他证明了“如果n不是素数，则2n－2不能被n整除”。但未发表其证明。连著名的哥德巴赫在给欧拉的信中也曾表示要证明费马小定理的逆命题成立，但也未成功。由于这些“大人物”都“证明”了或“将要证明”费马小定理的逆命题是成立的，所以更使人相信费马小定理的逆定理是正确的。由此，就引出了一类特别的数——伪素数。

第一个被发现的伪素数是341，它是在1819年被法国数学家沙路斯发现的。341能够整除2341－2，但341＝11×31是一个合数。这一反例，说明了费马小定理的逆命题不成立。人们把既能整除2n－2，又不是素数的数n命名为“伪素数”或“假素数”，因为它欺骗人的时间太长久而得名。

1830年，一位不愿意透露姓名的德国数学家，也宣布他否定了费马小定理的逆命题。他还提出和证明了更一般的构造反例的方法：只要能找到两个奇素数p和q，使它们的积pq能同时整除2p－1－1与2q－1－1，那么就可得到pq整除apq－1－1。他还举出341整除2341－2的推导过程

2341－2＝2(2340－1)＝2[(210)34－134]

＝2(210－1)(……)

＝2·1023(……)

＝2·3·341(……)

所以341整除2341－2。

后来，人们按照匿名者的方法，不断发现伪素数。

1876年，法国数学家鲁卡斯发现了第二个伪素数2701。

1899年，杰恩斯给出了四个伪素数：1387，4369，4681，10261。(www.daowen.com)

1909年，巴纳切维斯基证明，对于n＜2000，其中伪素数只有341，561，1389，1729，1905五个。

1926年，数学家普列特发表了花了很大精力研究伪素数后，制成的5000万以内全是奇数的伪素数表，1938年，他又将此表扩充到1亿以内。因此，人们为了纪念他的功绩，把伪素数也叫“普列特数”。

事物是对立统一的。被伪素数的假象迷惑是数学发展过程中所受的挫折，可是，数学家们却从中有了新的发现。

首先发现的是伪素数有无穷多个。1903年，数学家麦洛用一个构造性方法给出了一个比较简单的证明，即若n是奇伪素数，则n′＝2n－1也是奇伪素数。由此可以得出，伪素数有无穷多个。另外一个构造伪素数的方法更奇妙：任取一个p＞3的素数，则images/P87_1962352.jpg必为伪素数。由于p＞3的素数有无穷多个，所以伪素数也有无穷多个。

其次发现的是伪素数也有偶数。第一个偶伪素数161038是美国数论专家和计算数学家莱默尔于1950年找到的。莱默尔的发现，立刻激起寻觅偶伪素数的思维涟漪，许多感兴趣的人参与其中。1951年，荷兰的毕格尔又找到了3个新的偶伪素数：215326、2568226和143742226，并且从理论上证明了偶伪素数也有无穷多个。

再次，有人针对费马小定理中底为2的情况提出了扩张的联想，即底2能不能不是2而是其他的数。这种扩张是可行的。

1912年卡迈克尔给出绝对伪素数或叫卡迈克尔数的概念，还引进了一个判定一个整数是否绝对伪素数的准则。1939年，数学家切尼克给出了一个构造卡迈克尔数的方法。但是，人们具体去寻找绝对伪素数的工作是比较困难的，寻觅工作至今仍在进行，到目前为止，人们尚未证明绝对伪素数是否有无穷多个？

当然，在伪素数的研究中，还存在着大量未解决的问题，等待着不畏艰险的人们去征服它们。

关于伪素数，还有一段离奇的故事。1897年«数学通信者»杂志第27期上发表了一位大学生琼斯的一篇论文，在该短文的附注中，他令人惊讶和奇怪地说：威妥玛爵士的一篇论文认为，在孔子时代我国人就知道能整除2n－1－1的n必为素数，即费马小定理的逆定理成立。后来，美国著名数学史家迪克森的名著«数学史»第一卷上首先援引了琼斯的这个观点，从此流传开来。1973年美国数学协会出版的«多尔恰尼数学介绍性著作»丛书中，由滑铁卢大学洪斯贝格尔撰写的书里，在“一个古老的我国定理”中，以讹传讹的又说我国人在2500年前曾经对n的许多值检验过这个“逆定理”成立。

这实际上是一个冤案，是琼斯等人误解了«九章算术»方田章中的约分术所致。

因为发现了伪素数的一个很有价值的用处，即可用它来相对简便地检验素数，因此，数学家们至今仍在寻觅伪素数。