自然数是我们最熟悉的数了。几乎从记事起，人们就与自然数打交道，但认真想起来，我们对自然数的认识却是很肤浅的。

计数意识起源于人类对于一一对应关系的直觉，当一个原始人发现有两只狼同时逼近时，他在惊呼的同时可能会不自觉地伸出两个手指将这一坏消息传达给他的同伴。这样，利用一只手的手指，就可表达从1到5这5个数，因此两只手就可表达10个数。为了知道一群牛有多少头、一堆鸡蛋有多少只，用手指头数个数。首先，伸出大拇指对准一头牛，再伸出食指对准另一头牛，继而用中指对准下一头牛，如此继续，便知道这群牛的头数。亚里士多德就曾经指出：“十进制的广泛使用，是由绝大多数人生有10个手指和10个脚趾这一生理特征决定的。”为了将重要的数目保存下来，人类摸索出多种记数方法，有的运用小石子或小树枝记数，有的在树干或骨管上刻痕记数，有的则用打绳结的办法记数。我国古书«易系辞»说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”就是说我国祖先早在使用文字之前，曾经用过结绳记数的办法。

古希腊数学家和哲学家认为，自然数1、2、3、4、5……是上帝创造的，它主宰宇宙万物，这也许是因为自然数本来存在于自然界，并非人造的事物；或许是因为自然数是生产其他一切数的原料；或许是因为自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地……这个文明古国的数学家和哲学家们，对自然数顶礼膜拜，并不遗余力地探索它的规律。所有文明古国的数学家，都投入到征服自然数的行列。

自然数好像无所不在，无所不能，人类须臾不能离开；它又那么美妙，那么和谐；它好像很简单，可又神秘莫测。人类受到进取精神的激发，在征服自然界的进程中，首先要向自然数的奥秘发起攻击。如同探索生命与宇宙的奥秘一样，至今人们已经揭示出自然数中的许多规律，树立了一座座丰碑。但是，时至今日，在原始的、朴素的自然数面前，人们仍然显得软弱无力。寻求自然数内部的本质规律，是对宇宙中智慧生物的严峻挑战。

早在几千年前，人们就知道每一个自然数都可分解为素数的乘积。而且知道，如果不计因数的顺序，分解形式是惟一的。这个定理后人称之为“算术基本定理”，是欧几里得最早证明的。但是这个定理没有告诉我们如何分解，而且至今都没有找到一种简捷的方法。为分解一个数，只能用2、3、5、7、11……所有的素数，从小到大一一去试除。这个方法虽然笨拙，却是惟一普遍适用的方法。用这种方法去分解自然数是非常累人的，分解较小的数，可以手工操作，而分解较大的数，手工就力不能及了。

自然数之间还有一些有趣的特别关系。古人发现，有些自然数除了本身以外的所有因数的和恰好等于本身。如

6＝1＋2＋3

28＝1＋2＋4＋7＋14(www.daowen.com)

496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248

它们如同人间的全家福，因此美其名曰“完全数”。有许多数学家研究过“完全数”。到了18世纪，瑞士大数学家欧拉证明了所有的偶完全数必为如下形式：

2n－1（2n－1），2n－1为素数。

经过250多年的呕心沥血，到20世纪末，人类总共找到了33个偶完全数。是否存在无限多个完全数不得而知。值得一提的是，如果谁能找到一个奇完全数，那将是一项了不起的数学成就。

古人发现的自然数之间的另一神奇的关系是：220的所有因数1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和等于284，而284的因数1、2、4、71、142之和恰好 等于220。这样的数人称“亲和数”。但是，经过近两千年的努力，人们才发现了几十对亲和数，多么曲折，多么有趣。

自然数处处充满奥秘与神奇，无论是著名的数学家，还是青年学生，都会被它们吸引。