复数的乘法法则:

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

复数的除法:

(1)复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商,记为(a+bi)÷(c+di)或者.

(2)复数的除法法则:

方法简述

1.定义法

例1 计算:

点拨 复数代数形式四则混合运算法则.

解答

反思 模的运算法则需熟练,计算需要细心.

例2 设,z2=1-i,试求满足的最小正整数m,n的值.

点拨 两边取模.

解答 对两边取模得,所以m=2n,从而

所以,于是n=3k(k∈N+).

所以满足条件的最小正整数是m=6,n=3.

反思 ,则n=3k(k∈N+)是常见结论.

2.待定系数法

例3 是否存在复数z,使其满足,如果存在,求出z的值;如果不存在,说明理由.

点拨 复数相等可采用待定系数法求解.

解答 设z=x+yi(x,y∈R).

则x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.∴

消去x,得y2+2y+-3=0,Δ=16-a2.(www.daowen.com)

当且仅当|a|≤4时,复数z存在,这时

反思 转化为方程组有解问题,利用判别式即可.

易错解读

例4 已知,求使(-ωi)n∈N*的最小正整数n.

解答 ∵ω3=1,∴(-ωi)n=(-1)n·ωn·in,易知n=12.

易错分析 忽略(-ωi)n∈N*的条件,可能会得出n=3或n=6.

例5 已知f(x)=-x5+5x4-10x3+10x2-5x+1,求的值.

解答 ∵f(x)=-(x-1)5,∴=-ω2=-=.

易错分析 注意观察解析式的结构特点,不能直接代入,否则十分烦琐.

经典训练

1.计算:

2.复数等于(　).

A.　B.　C.　D.

3.求

4.已知是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹.

5.设z为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么(　).

A.M={纯虚数}　B.M={实数}

C.{实数}⊂M⊂{复数}　D.M={虚数}

6.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,试求f(-z).

7.(1)已知z1,z2∈C,求证:

(2)已知z1,z2∈C,且.求证:中至少有一个是1.