理解并掌握虚数单位i以及实数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部等相关概念.

复数相等的充要条件:若在复数集中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),则它们相等的充要条件是a=c,b=d,两个复数除都是实数外,不能比较大小,只有相等关系.

方法简述

1.基本定义

例1 设x∈R,则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的(　).

A.充分不必要条件　B.必要不充分条件

C.充要条件　D.既不充分也不必要条件

点拨 复数为纯虚数的条件:实部为零,虚部不为零.

解答 由纯虚数的定义,知解得x=1.故选C.

反思 充要条件的理解.

2.待定系数法

例2 若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=_________.

点拨 共轭复数的定义.

解答 设z=a+bi,则(a+bi)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i.

由解得

所以z=-i=i.

反思 利用复数相等求出z,进而求出z-.

例3 设a,b为共轭复数,且(a+b)2-3abi=4-12i,求a,b的值.

点拨 两个复数相等的条件:实部、虚部分别相等.

解答 设a=x+yi,b=x-yi(x,y∈R).

代入原方程,得4x2-3(x2+y2)i=4-12i,

由复数相等的条件,得

解得

故或

或或

反思 共轭复数的概念以及待定系数法.

易错解读

例4 已知z,w为复数,(1+3i)·z为纯虚数,w=,且,求复数w.

解答 设z=x+yi(x,y∈R),则(1+3i)·z=(x-3y)+(3x+y)i为纯虚数.

所以x-3y=0,3x+y≠0.因为,所以

又x=3y≠0,解得x=15,y=5或x=-15,y=-5,所以

易错分析 容易造成漏解情况.

例5 z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+ilog2x-8=(1-log2y)i,求z.

解答 ∵2x+y+ilog2x-8=(1-log2y)i,

∴解得

解得

∴z=2+i或z=1+2i.

易错分析 对题目的理解出问题,造成解答出错.

例6 关于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0;若方程有实数根,求锐角θ和实数根.

解答 设实数根是a,则a2-(tanθ+i)a-(2+i)=0.(www.daowen.com)

整理,得a2-atanθ-2-(a+1)i=0.

∵a,tanθ∈R,∴

∴a=-1且tanθ=1.又0<θ<,∴θ=,a=-1.

易错分析 解题过程中出现一元二次方程,若通过求解Δ来解决问题,则会出现困难.

经典训练1.在复平面内表示复数i(1-2i)的点位于(　).

A.第一象限　B.第二象限　C.第三象限　D.第四象限

2.设i是虚数单位,z-表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则+i·=(　).

A.-2　B.-2i　C.2　D.2i

3.复数z=(3-2i)i的共轭复数z-等于(　).

A.-2-3i　B.-2+3i　C.2-3i　D.2+3i

4.已知复数z满足(3-4i)z=25则z=(　).

A.3-4i　B.3+4i　C.-3-4i　D.-3+4i

5.满足=i(i为虚数单位)的复数z=(　).

A.　B.　C.　D.

6.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=(　).

A.2+3i　B.2-3i　C.3+2i　D.3-2i

7.是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=(　).

A.1+i　B.-1-i　C.-1+i　D.1-i

8.i是虚数单位,复数=(　).

A.1-i　B.-1+i　C.　D.

9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　).

A.5-4i　B.5+4i　C.3-4i　D.3+4i

10.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　).

A.真,假,真　B.假,假,真　C.真,真,假　D.假,假,假

11.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(　).

A.充分不必要条件　B.必要不充分条件

C.充要条件　D.既不充分也不必要条件

12.i为虚数单位,=(　).

A.-1　B.1　C.-i　D.i

13.=(　).

A.1+i　B.1-i　C.-1+i　D.-1-i

14.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(　).

A.-5　B.5　C.-4+i　D.-4-i

15.复数=________.

16.设,则z的共轭复数为(　).

A.-1+3i　B.-1-3i　C.1+3i　D.1-3i

17.复数=_________.

18.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则=_______________.

19.已知复数z=(5-2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.