向量是沟通代数、几何的一种工具.向量有非常直观的几何意义,是数与形的完美结合.一方面,它可以把几何问题转化为坐标的代数运算;另一方面,它还可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解.

向量的坐标表示,即向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,可使向量运算代数化,将数与形紧密结合起来,这样几何问题的证明就可以转化为大家熟知的数量运算.

方法简述

1.方程思想

例1 已知集合λ∈R},则M∩N=________.

点拨 通过消去λ,得到向量的横、纵坐标之间的关系,继而利用方程思想进行求解.

解答 设

消λ,得4x-3y+2=0.①

同理,由N,得5u-4v+2=0.②

由①②,可得M∩N={(-2,-2)}.

反思 本题多次使用了方程的思想,通过消元得到方程,并利用方程组求解得到最后的结果.

2.等价转化

例2 将函数的图象沿向量的方向移动个单位得到函数的图象,求向量的坐标.

点拨 由于图象沿向量的方向移动个单位,则平移的方向及单位数就构成向量的坐标（m,n）.

解答 ∵y=的图象经过向右平移单位,再向上平移1个单位,可得的图象,

反思 向量=（m,n）只提供了一个方向,平移的幅度与a的模有关.将向量问题等价转化为函数图象平移的问题是解决问题的关键.

3.函数思想

函数思想体现了在解决数学问题中的一种思维策略.

具体来说,函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究.它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点.一般地,函数思想是构造函数(即“规定思想”)从而利用函数的性质(已知+未知+规定思想)解题.

在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键.对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型.

例3 已知,试求的最大值和最小值.

点拨 求的最大值和最小值可以先求的表达式.

解答 ∵

∴

∴的最大值为3,最小值为1.

反思 求的最值问题一般先求模的表达式,转化成函数求最值.不过由于点B在单位圆上,A为定点,因此还可以用数形结合的方法解决此问题,读者不妨可以试一试.

4.利用定义

例4 已知A,B,C三点坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2)

(1)求点E,F及向量的坐标;

(2)求证:

点拨 运用定比分点公式求点E,F的坐标,即可解决后续问题.

解答 (1)设(www.daowen.com)

∵∴,∴

同理,可得,即

(2)∵,∴方向相同.

反思 求E,F的坐标可以运用定比分点公式,也可以设E,F的坐标代入计算.证明向量平行,要抓住向量平行的定义.

易错解读

例5 已知在△ABC中,过重心G的直线交边AB于点P,交边AC于点Q,设△APQ的面积为S1,△ABC的面积为S2,,求:

(1)

(2)的取值范围.

解答 设.因为G是△ABC的重心,故,因为与共线,所以,即又不共线,所以,消去λ,得λ1+λ2=3λ1λ2.

(1),故

(2),那么当P与B重合时,λ1=1;当P位于AB中点时,.故,所以.但因为P与B不能重合,故

易错分析 注意本题的自变量的范围,因点P与点B不能重合,故λ1取不到1,所以取不到

经典训练

1.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________.

2.已知向量且λ>0,则λ=________.

3.已知=(1,2),=(-3,2),当k= ________时平行.

4.下列命题中正确的个数是(　).

(1)若为单位向量,且,则

(2)若

(3)若

(4)若,则必有k=0(k∈R).

A.0　B.1　C.2　D.3

5.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(　).

A.(-2,-4)　B.(-3,-5)　C.(3,5)　D.(2,4)

6.经过点M(-2,3)的直线分别交x轴,y轴于A,B,且,求A,B的坐标.

7.已知向量=(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π]),,求:

(1)当θ为何值时,向量与共线;

(2)的最大值和最小值.

8.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间有何关系吗?

第8题图