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拓展目标

1.提升两种数学素养：空间观念，应用意识。

2.学习两类思维方法：简图法，操作法。

3.训练三项基本技能：会利用图形的对称性求最值，会将立体图形转化成平面图形求最值，掌握场地设置的策略。

4.体验一种数学情感：数学的实用性与奇妙性。

活动1　河边取水

陈大伯从家里（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜地（B点处），请帮他设计一条最短路线，在图中表示出来，并写出过程。

解答　如图所示，以河为轴找A点对称点C，连接BC与河边相交于D点，再连接AD，沿AD去河边D点挑水，再沿DB到菜地。因为AD=CD，所以最短距离为AD+DB=CD+DB=CB。

三点一线

活动2　对角爬行

如图所示，蜗牛和瓢虫分别位于一个正方体对角线上的两个顶点，蜗牛想尽快爬到瓢虫那里，图中标出的路线是最短的吗？

分析　画示意图：

同一平面上，两点之间，线段最短。两个面不处在同一个平面上，可以将顶面和前面展平，发现图中的虚线才是最短距离。

解答　不是。

活动3　靠墙围地

小贝爸爸想在自家笔直的围墙外修一个矩形的小花圃，但围花圃的篱笆只有12米长，可用围墙为一边，那么花圃面积最大是多少平方米？

方法点睛

封闭的方形中，周长一定时，正方形的面积最大。

想一想：下面这样想对吗？

让花圃三条边一样长，12÷3=4（米），4×4=16（平方米），不就是最大吗？

分析　以墙面为对称轴，画出花圃的“镜像图”，使其成为一个封闭图形。（如下图所示）

这时矩形的周长为12×2=24米，当这个矩形为正方形时，即边长为24÷4=6（米）时，面积最大。

再利用花圃的面积=正方形面积的一半即可求解。

解答　花圃面积最大为6×6÷2=18（平方米）

答：花圃面积最大为18平方米。

活动4　场地设置

红星农场有7块麦地，圈中的字母表示麦地的编号，圈外的数字表示它的产量（单位：吨）。问应把集中打麦场设在哪块麦地，使在收麦时，运输量最小？(www.daowen.com)

场地设置，有一个基本原则：“小往大处靠”，也就是说，在选择地址把几堆货物集中到一起时，应该把数量少的东西往数量多的地方集中，这样运费最少。

解答（1）图中没有环形道路，这叫“道路不成圈”。

（2）图中的A、B、E、G号麦地，都只有一条道路相通，叫端点”；将各端点的货物与总货物比较大小，叫“求和比各端”，总货物量有：8+6+2+7+0+4+3=30（吨）。

（3）由于A、B、E、G各端点的货物量都不到总货物30吨的一半，就把各端点的货物各向前运一站集中，即A运到C，B运到C，E运到D，G运到F。这叫“小半进一站”。

（4）货物集中到了C、D、F三地了，这时C有16吨，D有7吨，F有7吨，只有C的货物量超过总货物量30吨的一半，所以应该在C设立打麦场。这叫“大半就设此”。

场地设置歌

道路不成圈，

求和比各端，

小半进一站，

大半就设此。

解答　答：应该把打麦场设在C处。

图形最值歌

折线最值找对称，化折为直好转化；

周长一定求面积，两边差小积越大。

场地设置先求和，小半进一多设它。

思维小训练

1.一只小虫想从墙壁的A点爬到临近另一面墙壁的B点，那么小虫如何爬使路线最短呢？

2.如图所示，在一个正方体表面A、B、C的位置上有三只蜗牛，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？

3.河的两岸有M、N两个村庄，为了方便两岸人们的生活，要在河上架设一座桥，为了节省材料，桥的方向要与河流方向垂直。设河的宽度一样，问桥架设在何处，才能使得从M村到N村的距离最短？

4.江中有A、B两个小岛，一条小船从A岛出发先到北岸，再从北岸到南岸，最后到达B岛，问小船应如何行驶路线最短？

5.小明的爷爷用13段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的菜地，则菜地的最大面积是多少平方米？（注意：不允许折断篱笆）

6.如图所示，6段绳子相互连接，现在要在绳子的某处点火（不一定是结点），如果每分钟燃烧的距离是1分米，那么至少需要多少分钟才能烧光这些绳子？

7.某市的主要交通主干道如图所示。图中每个黑点表示道路交叉口，黑点之间的连线表示道路，连线旁边标注的数表示每分钟最多可通过的车辆数（如55就表示每分钟最多可以通过55辆车）。现从A地出发到B地，每分钟最多可以通过多少辆车？

8.某乡共有六块麦地，每块地的产量如图所示。现在准备建一打麦场，问打麦场建于哪块麦地总运费最省？

思维小达人

如图所示，某小区花园的道路为一个长480米、宽200米的长方形，一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成。一天，王大爷从A处进入花园，走遍花园所有道路并从A处离开，如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到离开花园最少要用多少分钟？