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拓展目标

1.提升两种数学素养：几何直观，运算能力。

2.学习两类思维方法：推理法，等量代换。

3.训练两项基本技能：知道一些特殊角的度数，能灵活运用外角和、内角和进行角度计算。

4.体验一种数学情感：数学与生活紧密相关。

活动1　钟面上的角度

写出每个钟面上时针和分针所形成的角的度数。

方法点睛

钟面上角度计算的方法：一个钟面相当于一个360°的周角，每一个大格就是360°÷12=30°，每一小格就是30°÷5=6°。

分析　第一个钟面时针和分针相差3格；第二个钟面时针和分针相差3格半；第三个钟面时针和分针相差6格；第四个钟面时针和分针相差1格。

解答　（1）30°×3＝90°　（直角）；（2）30°×3+15°=105°　（钝角）；（3）30°×6=180°　（平角）；（4）30°×1=30°　（锐角）。

活动2　巧用内角和

如图所示，平面上六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形。求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。

分析　所求的六个角分布在三个三角形中，但需减去顶点位于G，H，L处的三个内角，由图形结构不难看出，这三个内角可以集中到△GHL中。

解答　在△GAB，△HCD，△LEF中，

　　　∠A+∠B+∠AGB=180°　①

　　　∠C+∠D+∠CHD=180°　②

　　　∠E+∠F+∠ELF=180°　③

又在△GHL中，∠GHL+∠HLG+∠LGH=180°　④

而∠CHD=∠GHL，∠AGB=∠LGH，∠ELF=∠HLG，

①+②+③-④得：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°

三角形的内角和等于180°

对顶角相等

活动3　巧用外角和

求右图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小。

解答　∠AHC是△ABH的一个外角，所以有∠AHC=∠A+∠B。

　　　∠CFD是△DEF的一个外角，所以∠CFD=∠D+∠E。

在△CFH中，∠CFD+∠AHC+∠C=180°，从而有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

活动4　多边形内角和

如图，在四边形中，∠1=∠2=120°，∠3=45°，求∠4。

解答　如图添加一条辅助线，那么就构成了两个三角形，每个三角形的内角和为180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∠4=360°-（∠1+∠2+∠3）=360°-（120°+120°+45°）=75°。

方法点睛

找找规律：

四边形的内角和为360°=180°×2

五边形的内角和为540°=180°×3

六边形的内角和为720°=180°×4

八边形的内角和为1080°=180°×6(www.daowen.com)

规律：任意多边形按这种方式分成的三角形的个数总是比边数少2。

推广：n边形的内角和为（n-2）×180°

活动5　找对应求角度

如图，正五边形ABCDE中，若△CDF为正三角形，试求∠BFE的度数。

分析　要求∠BFE，只要把周角减去另外三个角即可，因为△CDF为正三角形，每一个内角都是60°，只要求出∠EFD和∠BFC即可。

解答　因为正五边形的内角和为

（5-2）×180°=540°，

根据内角和公式

所以正五边形每一个内角为

540°÷5=108°，

正多边形的每个内角相等

所以∠BCF=108°-60°=48°。

又BC=CD=CF，所以有

∠BFC=(180°-∠BCF)÷2

=(180°-48°)÷2=66°。

同理可得∠EFD=∠BFC=66°，

所以∠BFE=360°-∠BFC-∠CFD-∠EFD=360°-66°-60°-66°=168°。

等腰三角形两底角相等

角度计算歌

钟面一圈三百六，大格三十小格六；

三角形中内角和，正好一百八十度；

三角形中一外角，等于不邻两内角；

多边形中内角和，边少二乘一百八。

思维小训练

1.填空。

（1）写出每个钟面上时针和分针的夹角的度数。

2）在一个三角形中，任意两个内角的和大于第三个内角，这个三角形是_______三角形。

3）一个等腰三角形的顶角是56°，三角形的一个底角是_______度。

2.如图所示，四边形ABCD中，∠D+∠B=210°，∠A是∠C的2倍，那么∠C是多少度？

3.如图，在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C的度数是∠B的2倍，三个角各是多少度？

4.如图所示，∠1、∠2、∠3各是多少度？

5.如图所示，已知∠A=52°，∠B=25°，∠C=20°，求∠D的度数。

6.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小。

7.如图所示，三个正方形叠放在一起，那么∠1是多少度？

8.一个多边形的内角和是1440°，这个多边形是_______边形。

9.如图所示，∠AOB=2∠AOC，求∠A+∠B+∠C+∠D=_______。

思维小达人

如图所示，将四边形ABCD的四条边分别延长一段，得∠CBE，∠BAH，∠ADG，∠DCF，那么这四个角的和等于________。