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拓展目录

1.提升两种数学素养：符号意识，推理能力。

2.学习两类思维方法：假设法，类推法。

3.训练两项基本技能：会用假设尝试推出运算规律，并用新规律进行计算。

4.体验一种数学情感：新定义运算的新鲜感。

活动1　多条件定义

规定新运算★为：若a＞b，则a★b=a+b；若a=b，则a★b=a-b+1；若a＜b，则a★b=a×b。那么，（2★3）+（4★4）+（7★5）=_______。

解答　原式=2×3+4-4+1+7+5

=6+1+12

=19

a、b的值大小不同时，其运算规律是不同的。先判断再计算。

活动2　新运算数列

如果　6※2=6+7=13，4※3=4+5+6=15，5※4=5+6+7+8=26，那么（1※20）+（2※20）+（3※20）+…+（20※20）=_______。

解答　1※20=1+2+3+…+20=（1+20）×20÷2=210

2※20=2+3+4+…+21=（2+21）×20÷2=230

3※20=3+4+5+…+22=（3+22）×20÷2=250

……

20※20=20+21+22+…+39=（20+39）×20÷2=590

原式=210+230+250+…+590

=（210+590）×20÷2

=8000

先用等差数列求和的方法求出每一项，原式实际上是一个等差数列求和的问题，找到首项、末项和项数。

活动3　多角度定义

a 表示顺时针旋转90°，b 表示顺时针旋转180°，c 表示逆时针旋转90°，d 表示不转动。定义运算“◆”表示先进行左边的动作，再进行右边的动作。求：a◆b；b◆c；c◆a。

分析　a◆b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◆b=c。

b◆c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◆c=a。

c◆a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◆a=d。

解答　a◆b=c，b◆c=a，c◆a=d。

活动4　自推新规律

（1）4☆2=14，5☆3=22，3☆5=4，7☆18=31，求6☆9的值。

分析　4☆2=4×4-2=14

5☆3=5×5-3=22

3☆5=3×3-5=4

7☆18=7×7-18=31

观察四个算式，发现运算规律为A☆B=A×A-B。

解答　6☆9=6×6-9=27(www.daowen.com)

（2）观察下列数表，现用“十”字形阴影覆盖5个数并求和，如果和为625，这5个数中最大的数是多少？

观察发现，“十”字形中，左右两数与中间数相差1，上下两数与中间数相差10。

解答　12+21+22+23+32=110=22×5

5+25+14+16+15=75=15×5

625÷5=125

125+10=135

答：这5个数中最大的数是160。

“十”字形的和=中间数×5

最大数=中间数+10

定义新运算歌

定义新运算，符号是新创，

计算按顺序，括号也先算，

复杂数表中，关注特殊数，

数感加估测，计算加验证，

找出新规律，好玩脑筋转。

思维小训练

1.一种新运算，运算方法为：a◎b=（a+b）×（a-b），那么100◎99=。

2.已知1＠2=6，3＠4=14，5＠7=24，那么10＠20=_______。

3.对于两个数a、b，规定a☆b=a+b-1。若（5☆a）☆a=91，则a=_______。

4.对于两个数m、n，m◇n=n×k-m×2，并且82◇65=31，则k=_______。

5.定义新运算ф，对任何数a和b，有aфb=a×b-（a+b），xф5=11，x=_______。

6.如果3*2=3+4=7，4*5=4+5+6+7+8=30，按此规律计算：

（1）7*4=_______；　（2）x*3=21，x=_______。

7.定义：A※B表示线段AB的中点，如图1，C=A※B。在图2中，正方形ABCD的面积为2016平方厘米。已知：

M=（A※B）※（D※A）

N=（A※B）※（B※C）

P=（B※C）※（C※D）

Q=（C※D）※（D※A）

那么，四边形MNPQ的面积是_______平方厘米。

8.如下表所示，把自然数按规律排列起来，现用“土”字形阴影覆盖8个数并求和。如果和为814，这8个数中最大的数是多少？（注意：“土”字不能旋转或翻转）

图1

图2

两个“土”字形对应位置上的数之差有什么规律？

思维小达人

1.如果a*b表示a×b-b，例如2*5=2×5-5=5，那么当（X*2）*1=3时，X=_______。

2.a△b=3a+2b，a▽b=3a-2b，又知（7△W）▽9=93，那么W＝_______。