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拓展目标

1.提升两种数学素养：模型思想，运算能力。

2.学习两类思维方法：公式法，特殊数列求和法。

3.训练三项基本技能：掌握山顶数列求和法，掌握等比数列求和法，掌握奇偶数列求和法。

4.体验一种数学情感：发现规律、化繁为简的成就感。

活动1　山顶数列和

1+2+3+…+97+98+99+98+97+…+3+2+1=

解答　解法一：首尾配对法

观察左边1～98，右边98～1，是两个对称的等差数列。用首尾配对法，得到1+98=99，2+97=99……共有98个99，加上中间数99，共有99个99。

原式=99×99=9801。

解法二：公式求和法

利用高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2

原式=（1+98）×98÷2×2+99

=99×98+99

=99×99

=9801

解法三：巧找规律法

1+2+3+2+1=9=3×3

1+2+3+4+3+2+1=16=4×4

1+2+3+4+5+4+3+2+1=（　）=（　）×（　）

1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n（n为山顶数）

原式=99×99=9801

方法点睛

左边数列如“上山”“下山”排列，最大数如“山顶”，取名山顶数列。

山顶数列求和方法：和=山顶数×山顶数=n×n

活动2　去括号重组

（1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）=________

解答　原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988

=1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988）

=1+1×1988÷2

=1+994

=995

去括号重组，两两配对。

活动3　等比数列和

1.1+2+4+8+16+32+64+128+256=________

解答　原式=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256-1

=2+2+4+8+16+32+64+128+256-1

=4+4+8+16+32+64+128+256-1

……

=256×2-1

=512-1

=511

2.1+3+9+27+81+243+729+2187=________

借1还1

解答　设原式1+3+9+27+81+243+729+2187=S　①

①×3得：3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561　②(www.daowen.com)

②-①得：2S=6561-1

则S=（6561-1）÷2=3280

扩倍相减

方法点睛

等比数列求和：和=（最大数×倍数-最小数）÷（倍数-1）

活动4　特殊数列和

1.1+3+5=9=3×3

1+3+5+7=16=4×4

1+3+5+7+9=（　）×（　）

1+3+5+…+（2n-1）=n×n

2.2+4+6=12=3×（3+1）

2+4+6+8=20=4×（4+1）

2+4+6+8+10=30=5×（5+1）

2+4+6+…+2n=n×（n+1）

方法点睛

从1开始的连续奇数数列求和公式：和=n×n

从2开始的连续偶数数列求和公式：和=n×（n+1）

数列求和歌

等差数列高斯法，加减长式用抵消；

山顶数列顶相乘，等比数列扩倍减；

奇数数列个平方，偶数数列再加个。

思维小训练

1.等差数列求和。

（1）2+5+8+11+…+998+1001

（2）1+11+21+…+1991+2001+2011

2.分组巧算。

（1）2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1993+…+4+3-2-1

（2）（2014+2012+2010+…+6+4+2）-（1+3+5+…+2009+2011+2013）

（3）（1+2+3+4+…+99+100）-（2+4+6+8+…+96+98）

（4）1000+999-998-997+996+995-994-993+…+104+103-102-101

3.山顶数列求和。

（1）1+2+3+…+29+30+29+…+3+2+1=（　）×（　）=（　）

（2）2+3+4+…+109+110+109+…+4+3+2+1=（　）

（3）2+3+4+…+106+107+106+…+5+4+3=（　）×（　）-1-2-1=（　）

（4）（1+2+3+…+2013+2014+2013+…+3+2+1）÷2014=（　）

4.等比数列求和。

（1）3+6+12+24+48+96+192+384+768

（2）4+12+36+108+324+972+2916

5.奇偶数列求和。

（1）求1～100中所有奇数的和。

（2）求1～200中所有偶数的和。

6.做一做古代数学趣题：“今有女子不善织，日减功迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”

意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比前一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺布，一共织了30天。她一共织了多少尺布？（1米=3尺）

思维小达人

100个连续自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1个数，第3个数，第5个数……第99个数，再把取出的数相加，得到的结果是5400，则这100个连续自然数的和为_________。