和第5章中一样，对稳定性边界上的临界参数值引入摄动

式中，wgc代表参数wg在临界边界上的取值，而无量纲的销量ε则意味着对该临界参数的摄动很小。套用多尺度分析方法，将原始时间τ扩展成为不同的时间尺度T0=τ、T1=ετ 和T2=ε2τ。相应的，常微分算子转变为

与此同时，方程（6-5）的解y（τ）被展开为

对应于新引入的多个时间尺度和被摄动的参数，时滞项可以被展开为

其中

yikτj=yik（T0-τj，T1，T2），（i=1，2；j=g，w 和k=0，1，2）。

将方程（6-11）、方程（6-12）、方程（6-13）和方程（6-14）代入方程（6-5）并搜集方程中ε1和ε2前面的系数，得到

和

其中δi=y2i-y1i-（y2iτw-y1iτw）-g（y2iτg-y1iτg），（i=1，2，…）。

在稳定性边界上，方程（6-15）的解可以写作

式中，c.c.代表其前面项的复共轭；iω 对应于稳定边界上临界特征值的虚部；而r=（1，r2，r3，r4）T则对应于该临界特征值的一个右特征向量，即它们满足以下方程：

(iωI-A-Dge-iωτg-Dwe-iωτw)·r=0

另外，方程（6-17）中的rfeiΩT0对应于外激励的激发的受迫振动：

将方程（6-17）代入方程（6-16）后可以得到

其中

u3=wgε(κ1+κc)(r2-1-(r2e-iωτw-e-iωτw)-g(r2e-iωτg-e-iωτg)),

v3=wgc(κ1+κc)(r2e-iωτwτw-e-iωτwτw+gr2e-iωτgτg-ge-iωτgτg)-r3,

s3=2κ2wgc(r2-1-(r2e-iωτw-e-iωτw)-g(r2e-iωτg-e-iωτg))

×(r-2-1-(r-2eiωτw-eiωτw)-g(r-2eiωτg-eiωτg)),

w3=κ2wgc(r2-1-(r2e-iωτw-e-iωτw)-g(r2e-iωτg-e-iωτg))2,

m3=2κ2wgc(h2-h1-(h2e-iΩτw-h1e-iΩτw)-g(h2e-iΩτg-h1e-iΩτg))(www.daowen.com)

×(h-2-h-1-(h-2eiΩτw-h-1eiΩτw)-g(h-2eiΩτg-h-1eiΩτg)),

n3=κ2wgc(h2-h1-(h2e-iΩτw-h1e-iΩτw)-g(h2e-iΩτg-h1e-iΩτg))2,

p3=2κ2wgc(r2-1-(r2e-iωτw-e-iωτw)-g(r2e-iωτg-e-iωτg))

×(h2-h1-(h2e-iΩτw-h1e-iΩτw)-g(h2e-iΩτg-h1e-iΩτg)),

q3=2κ2wgc(r2-1-(r2e-iωτw-e-iωτw)-g(r2e-iωτg-e-iωτg))

×(h-2-h-1-(h-2eiΩτw-h-1eiΩτw)-g(h-2eiΩτg-h-1eiΩτg)),

u4=-γu3,v1=-1,v2=-r2,v4=-γ(v3+r3)-r4,s4=-γs3,

w4=-γw3,m4=-γm3,n4=-γn3,p4=-γp3,q4=-γq3,

B=B(T1,T2),

且有代表·的复共轭。

如前面所说，方程（6-19）有解的充分必要条件是其中的长期项要全部被消除，即其中所有和eiωT0成比例的项都应该被消去。为此，引入一个特解y*1使其满足

根据Fredholm 定理y*1存在的充分必要条件是以下方程被满足：

其中l=（1，l2，l3，l4）是对应于临界情况时的一个左特征向量，即它是以下方程的解：

求解方程（6-21）可以得到B（T1，T2）需要满足的微分方程为

同时，在消除了方程（6-19）中的长期项以后，可以直接求解方程（6-19）得到

其中

更进一步的，重复上面的流程。把方程（6-11）、方程（6-12）、方程（6-13）、方程（6-14）、方程（6-20）、方程（6-24）代入方程（6-5）并搜集其中ε3项的系数，然后重复前面的分析流程，即从方程（6-19）到方程（6-25），则可以计算出。之后，可以通过下面的方程重构振幅函数B 所满足的微分方程为

接下来，引入极坐标变换

可以将方程（6-26）的实部和虚部分离为

显然，方程（6-28）独立，且α 代表颤振振幅，决定了该过程的动力学行为。如果α的解为正，则该过程为颤振，而如果α 为零，则代表颤振没有发生。从方程（6-28）中可以知道，该颤振振幅存在零解α=0，并且当a1＜0时，该零解稳定。因此，为了能够消除磨削颤振，需要通过调节振动控制的振幅，使得a1＜0。