为了进一步讨论该磨削过程失稳从而引发再生颤振的情况，将图6-1（d）中的稳定边界绘制在图6-2中。此外，为了说明系统参数wg的增加如何能够引发磨削颤振，在图6-2中标记了箭头A 以方便后面磨削颤振的分析。当系统参数值随着图6-2中的箭头A 变化，并由稳定区域跨过稳定性边界进入颤振区域，该磨削过程会失去稳定性并产生磨削颤振。

图6-2　磨削过程稳定性边界

采用前面所使用的多尺度方法和分岔理论，可以研究磨削加工失稳并产生颤振的过程，结果见图6-3。图中的虚线代表由多尺度方法得到的不稳定周期解，点代表用数值模拟得到的稳定解，包括稳定的平衡点和周期解，而空心的圆圈则代表用DDEBIFTOOL得到的不稳定周期解。从图中可以看出，该磨削过程中的再生颤振由亚临界的Hopf分岔产生，更为重要的是，稳定的颤振仅产生于工件和砂轮失去接触以后。(www.daowen.com)

图6-3　系统的动力学行为沿着箭头A的分岔图

从上面的分析可以看出，由亚临界Hopf分岔产生的颤振往往具有较大的振幅，以至于导致磨削过程中砂轮和工件失去接触。此种形式的颤振还伴随着砂轮与工件的相互碰撞，相比无碰撞形式的颤振对工件的表面质量和砂轮的寿命有更大的影响。此外，此种分岔产生的颤振与稳定磨削过程共存于稳定的参数区域中，使得实际加工过程中可选的参数范围相对缩减，因而磨削加工应尽量避免此种情况的发生。为此，在砂轮头架上引入非线性控制来改变系统的分岔形式。