为了进一步分析颤振运动，选取图5-2中被虚线围住的区域，放大在图5-3中，并标记了箭头A 和B。对应于这两种不同的由稳定磨削过渡到颤振运动的情况，再次采用分岔分析的办法讨论了可能发生的颤振运动。而这两组结果则都显示在了图5-4中。

图5-3　放大后的稳定性参数区域，图中箭头A和B对应于κ1=1.15的情况

图5-4　分岔图，描述最大max dg（t）和最小磨削min dg（t）深度与参数τw之间的关系

（a）对应于图5-3中的箭头A（τwc=17.929），（b）对应于箭头B（τwc=18.988）。(www.daowen.com)

图5-4中的dg（t）=1+dd（t），代表无量纲的磨削深度。从图中可以看出，当没有颤振发生dg=1 时，该磨削过程稳定，没有动态磨削深度dd（t）≡0。而在颤振发生以后，磨削深度dg（t）会随着时间不断变化，从而产生最大max dg（t）和最小min dg（t）的切削深度。不仅如此，当颤振的振幅增大到一定程度时，产生负磨削深度（dg（t）＜0），砂轮和工件之间还会失去接触。此外，还可以清楚地看到图5-4（a）中的颤振经由超临界Hopf分岔产生，其振幅随着τw的减小而增大，最终产生工件与砂轮分离的颤振。而在图5-4（b）中，颤振并不是连续地产生出来，而是突然产生于τw增大到τwc以后。此外，这种情况还类似于一种亚临界Hopf分岔，在线性稳定的区域中出现了颤振与稳定磨削共存的情况。为了一一说明上面所描述的颤振，选取了几个具有代表性的情况，并观察其对应的时间历程，这些结果都被绘制于图5-5中。

图5-5显示了经由图5-3中的各个箭头所产生的颤振运动。其中图5-5（a）描述了在τw沿着箭头A 减小的情况下，系统经由超临界Hopf分岔所产生的周期性颤振。而随着τw进一步减小，颤振的幅值逐渐增大，直到砂轮和工件失去接触从而引发更加复杂的颤振运动，这样的结果可以在图5-5（b）中看到。图5-5（c）和（d）则体现了在箭头B上颤振运动和稳定磨削共存的情况。在参数值相同的情况下，该磨削过程中可能同时出现图5-5（c）中的颤振运动，和图5-5（d）中的稳定磨削过程，至于哪一种状态会出现则取决于该磨削过程的初始状态。

图5-5　磨削深度时间历程图，点代表数值仿真结果，实线代表由多尺度方法得到的理论结果

（a）τw=17.928时的周期性磨削颤振，（b）τw=17.926时的颤振，考虑到砂轮和工件失去接触的情况，（c）τw=18.98时的颤振运动，（d）τw=18.98时的稳定磨削过程。

总体来说，在改进了磨削力模型以后，得到的磨削稳定性和颤振运动的结果和前两章的结论有细微的改变，比如稳定性区域的面积也受到时滞τg和τw的影响，以及颤振运动会因为砂轮和工件失去接触而变得更为复杂。然而，采用两个不同模型所得到的关于磨削颤振的主要结论还是一致的，即较小的磨削力有助于系统维持稳定，并且该过程中的稳定磨削与颤振运动共存的情况使得针对该过程的研究不能只停留于线性分析阶段。