理论教育 多尺度方法分析磨削稳定性中的摄动效应

多尺度方法分析磨削稳定性中的摄动效应

时间:2023-07-02 理论教育 版权反馈
【摘要】:为了理论地分析磨削稳定性,这里采用多尺度方法。与前一章一样,该方法引入多重时间尺度T0=τ 和T1=ετ,并且将方程的解展开为其中i代表g,1,2,…在方程中,αg代表砂轮的振幅而αi(i=1,2,…同样,工件的第i阶模态稳定的条件是方程中对应的αi前面的系数分别为负。显然,由于,方程的左端应满足从方程可以看出,工件高阶模态的稳定性条件不会被破坏,即再生力仅会诱发工件低阶模态的颤振。

多尺度方法分析磨削稳定性中的摄动效应

为了理论地分析磨削稳定性,这里采用多尺度方法。与前一章一样,该方法引入多重时间尺度T0=τ 和T1=ετ,并且将方程(4-18)的解展开为

其中i代表g,1,2,…,n。相对应的,关于时间的导数和时滞项展开为

其中i代表g,1,2,…,n,而j代表g,w。接下来,将方程(4-21)代入方程(4-18)并分别收集其中ε0和ε1前面的系数,得到

其中i代表g,1,2,…,n。

显然,方程(4-22)的解可以写成如下形式

其中代表其前面所有项的复共轭。将方程(4-24)代入方程(4-23)得到

其中i代表g,1,2,…,n。

根据Nayfeh[130,206]的方法,方程(4-25)的解存在的充分必要条件是其右端的所有共振项全部被消除,而这里所谓的共振项即是所有与eiωiT0(i代表g,1,2,…,n)成正比的项。因此,为了消除所有的共振项,Ai(T1)(i代表g,1,2,…,n)应该满足

其中i代表1,2,…,n。将方程(4-26)重新排列可以写作(www.daowen.com)

其中i代表1,2,…,n。

接下来,为了将复振幅Ai(T1)(i代表g,1,2,…,n)展开,引入如下极坐标变换:

其中i代表1,2,…,n。将方程(4-28)代入方程(4-27)并分离其实部和虚部,分别得到

其中i代表1,2,…,n。在方程(4-29)中,αg(T1)代表砂轮的振幅而αi(T1)(i=1,2,…,n)代表工件的各阶模态的振幅。

从方程(4-29)中,很容易找出该磨削过程的稳定性条件。例如,砂轮稳定的条件是方程(4-29)的第一个方程中αg(T1)前面的系数为负。同样,工件的第i阶模态稳定的条件是方程(4-29)中对应的αi(T1)前面的系数分别为负。简单来说,整个磨削过程保持稳定的条件为

其中i=1,2,…,n。

显然,由于,方程(4-31)的左端应满足

从方程(4-32)可以看出,工件高阶模态的稳定性条件不会被破坏,即再生力仅会诱发工件低阶模态的颤振。此外,随着磨削刚度的增大,更多工件模态的振动会被激发。例如,当,工件的振动不会被激发,而当时,工件前n阶模态的振动都有可能被激发。与这个结论相关的实验结果在Fu[200]的论文中有所体现。在他的研究中,磨削颤振仅仅包含了工件的最低三阶模态的振动。

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