下面采用多尺度方法对颤振运动进行摄动分析。首先,对应于方程(2-13)中的特征矩阵M,将其改写为
其中,MR和MI都是由实数元素构成的矩阵,分别代表特征矩阵的实部和虚部。此外,对应于每一个特征值λ,都有相应的左、右特征向量:
它们满足
和
一般来说,满足方程(3-3)和方程(3-4)的左右特征向量有无穷多种选择。因此,为了使分析过程唯一,需要对左、右特征进行某种归一化,在这里选择r1=1、s1=0、p1=1和q1=0。如此一来,所选用的特征向量就有了唯一性。
在系统参数处于稳定性边界上的时候,有λ=±iω,此时,系统的动力学行为可以用摄动法进行预测。首先,需要引入不同的时间尺度T0=τ、T1=ετ和T2=ε2τ,其中,ε是一个远小于1的无量纲参数,用来在摄动分析中帮助匹配不同的量级。与之相应,状态变量y(τ)对于时间τ的导数则变为
其中
而时滞项yg(τ-τg)和yw(τ-τw)则变为
和
为了保证摄动分析是在临界参数附近进行,需要对所关心的参数在其临界值附近进行摄动。对应于图2-7中的各条临界曲线,分别如下摄动参数κ1和τw:
其中,κ1c和τwc分别代表系统处于临界状态时参数κ1和τw的临界值,而εκ1ε和ετwε则代表对这两个参数在其临界值附近对它们进行了小范围的摄动。接下来,将方程(3-7)和方程(3-8)进行Taylor展开并保留其ε低阶项,得到
和
下面将方程(3-5)、方程(3-6)、方程(3-9)、方程(3-10)和方程(3-11)全部代入切入式外圆磨削的控制方程(2-11),然后按照ε的量级分别提取ε0、ε1和ε2的系数项,可以得到下面的一系列方程组。ε0的系数为
和
ε1的系数为
和
以及ε2的系数
和
由于这里讨论的是临界曲线附近的情况,再结合方程(3-4),可以知道方程组(3-12)、方程组(3-13)、方程组(3-14)和方程组(3-15)的解具有以下形式:
其中,c.c.代表它前面所有项的复共轭,而ω 对应于临界特征值λ=iω 的虚部,也对应于颤振发生时其线性部分的频率。
将方程(3-24)代入方程组(3-16)、方程组(3-17)、方程组(3-18)和方程组(3-19),得到
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其中,ST1被称为共振项,即是与e-iωT0成正比的所有项,在这里,它由下面方程给出:
式中
Δ1=-κ1cτge-iωτg+(p2+i q2)τwcκ1ce-iωτwc,
Δ2=(e-iωτg-1)κ1ε+(p2+i q2)(κ1ε+(iωκ1cτwε-κ1ε)e-iωτwc)
B 代表B(T0,T1),而NST1则代表所有剩下的非共振项。
根据Nayfeh提出的多尺度方法[206],为确保方程(3-25)的解中不存在长期项,其中的ST1必须被消除。为此,给方程(3-25)引入一个特解:
并且让它满足
根据Fredholm 定理,y*1(T0,T1,T2)存在的充要条件(即可解性条件)是
采用以上方法,共振项ST1全部被消除,我们直接求解方程(3-25),得到
其中,代表B(T1,T2)的复共轭且
Δ3=κ2(p2+i q2)2(4ω2-1-κ1c-2iωξg+κ1ce-i2ωτg)(-2iγκ1cξgωe-2iωτwc
+4γκgω2e-2iωτwc-γκ1ce-2iωτwc+2iγκ1cξgω-4γκ1cω2+γκ1c
-2iκ1cξwωe-2iωτg+2iκwξgω+2iκ1cξwω+4κ1cω2e-2iωτg-κ1cκwe-2iωτg
-4κ1cω2-4κwω2+κ1cκw+κw-8iξgω3-8iξwω3-4ξgξwω2
+2iξwω+16ω4-4ω2)-1
仿照前面的分析过程,将方程(3-24)和方程(3-30)代入方程组(3-16)、方程组(3-17)、方程组(3-18)和方程组(3-19)后可以得到
其中,共振项是
式中
然后我们用同样的方法去消除共振项ST2,得到的可解性条件为
接下来从两个可解性条件,即方程(3-29)和方程(3-33)中可以求解出
其中
Λ1=1+(r2+i s2)(p2+i q2)+(r3+i s3)(p3+i q3-Δ1)
+(r4+i s4)(p4+i q4+γΔ1)
Λ2=(r3+i s3)Δ2-γ(r4+i s4)Δ2
Λ4=(r3+i s3)Δ4-γ(r4+i s4)Δ4
Λ5=(r3+i s3)Δ5-γ(r4+i s4)Δ5
Λ6=(r4+i s4)Δ6
Λ7=1+(r2+i s2)(p2+i q2)+(r3+i s3)(p3+i q3-Δ7)
+(r4+i s4)(p4+i q4+γΔ7)
最后,由方程(3-34)可以重构出B 所满足的方程为
在数学上,方程(3-35)被称作规范型[231],可以帮助分析系统中可能出现的动力学行为。在接下来的分析中,将基于规范型方程(3-35),继续讨论切入式磨削加工过程中不同的颤振运动。
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