颤振的思想起源于对切削加工的研究，切削颤振的概念最早由Taylor[115]在20世纪初提出。而后，Arnold[4]详细描述了车削过程中颤振的产生机理，他在研究车削颤振的过程中发现车刀切入工件的深度在整个切削过程中会随着刀具与工件的相对位置改变而不断地发生变化。时变的切削深度影响切屑的厚度，而切屑厚度改变切削力，最后切削力又导致工件和刀具的相对位置发生改变，由此，Arnold构建了颤振理论的动力学基础。此外，Arnold在文中指出，被刀具切割而产生的新表面在下一轮切削时（工件旋转一周之后）会由切屑的下表面转变成为切屑的上表面。考虑到切屑的厚度会影响切削力，可以知道，这种表面再生现象使得切削力不仅与当前工件与刀具的相对位置有关，还与它们一个周期之前的相对位置有关。基于此，Tlustry[116]、Tobias[117]和Meritt[118]分别建立了关于车削再生颤振的结构稳定性和动力学相应的力学模型。而Minis等人[119]也为铣削颤振动力学建立了相应的模型并做了分析。从数学的角度出发，这种再生效应给系统引入了一个时滞项，从而将系统的控制方程由常微分方程（ODEs）转变为了时滞微分方程（DDEs）[120-127]。由此微分方程出发，切削稳定性和切削颤振等问题的研究都可以相继展开。

利用该动力学方程，很多研究者探讨了各种加工过程中的切削稳定性。他们在代表各种切削加工的动力系统中都得到了著名的“Lobes”图[96，97，128，129]，用来区分系统的稳定和不稳定状态。值得说明的是，在“Lobes”图的稳定性区域中，切削过程稳定且没有颤振发生，这使得最终的零件能够获得很好的表面质量。通过这些“Lobes”图，人们发现切削稳定性会随着切削刚度的升高而显著降低。而随着旋转件转速的改变，系统的稳定和不稳定区域会交替出现[96-97，130]。为得到这些“Lobes”图，不同的研究者采用了许多的方法，而其中被引用得最为广泛的应该是Altintas[128，131]和Budak[128]所使用的利用傅里叶级数展开讨论系统特征根的办法。除了这种经典的方法，也有很多替代手段被用于判断切削稳定性。例如，Quintana等人[132]在实验中采用“Sound Mapping”方法用于检测铣削过程的稳定性；Kotaiah[133]等人提出了一种基于神经网络的办法，研究了车削加工的稳定性；Khachan与Ismail[134]提出了数值仿真的办法来观察铣削稳定性；此外，还有很多学者采用了有限元模拟[135-137]的办法来讨论机械加工中的颤振现象。

得到了“Lobes”图以后，研究者就可以判断系统的状态，而在系统失稳以后，颤振也就会相应的发生。颤振的形式不尽相同，最终加工成型零件的表面质量也相去甚远。当系统失稳时，颤振可以通过各种各样的形式产生，其中最为简单的情况便是超临界或者是亚临界的Hopf分岔[138]。基于再生颤振模型，Nayfeh[139]描述了车削中由超临界Hopf分岔诱发的颤振，而Kalmar-Nagy[8]研究了由亚临界Hopf 分岔产生的颤振。此外，Nafeh[130]、Kim[12]和Insperger等人[140]都在车削动力学中同时发现了两种Hopf分岔诱发的颤振。值得说明的是，由超临界Hopf导致的颤振属于简单的情况，它使得机械加工的稳定和不稳定情况泾渭分明，于是只需要线性的分析就能够全然地了解切削稳定性。相反，亚临界的情况使系统产生稳定磨削和颤振共存的情况，从而使得在预测切削颤振的时候很有必要进行非线性的分析。此外，还可以知道，在两种Hopf分岔切换的地方，将会产生具有更强非线性特性的Bautin分岔[141]。除了由Hopf分岔诱发的周期性颤振，Stépán[142-143]、Wahi和Chatterjee[144]等人还发现了概周期颤振、倍周期颤振乃至混沌颤振等多种不同的切削颤振运动。特别对于概周期颤振情况，Wahi和Chatterjee[145]还基于Hopf-Hopf分岔理论[146]对其产生机理进行了深入的探讨。(www.daowen.com)

由此可见，基于再生颤振模型建立的切削动力学方程极大地方便了广大学者对于切削稳定性和切削颤振的研究。与此同时，由于将再生效应和时滞效应建立了联系，近几年，关于时滞动力学的研究也使得切削稳定性的机理更加的清晰。与之相应，对于时滞动力系统的分岔研究也使得颤振动力学的预测能够更加准确地开展，甚至还帮助我们预测了在实验中还没有观测到的复杂非线性动力学颤振。有此理论作为基石，本书接下来就开始磨削颤振的讨论。