直流电阻电路的解称为该电路的直流工作点或静态工作点，简称工作点。对于直流非线性电阻电路来说，电路的解即电路方程式（11-15）的解x1，x2，…，xn称为该电路的直流工作点。当非线性电阻的VAR可以表示为函数式，一般可利用列写电路方程的解析法建立方程，最终解出非线性电阻的端电压和端电流，即用解析法求得非线性电阻电路的工作点；而当非线性电阻的VAR不能表示为函数式时，解析法就无能为力。由于非线性电阻的伏安关系的固有复杂性，使得很多情况下无法获得非线性电阻伏安关系的解析形式，只得借助元件伏安关系特性曲线来对其进行描述，因此，图解法就构成分析计算非线性电阻电路的一种非常重要的常用方法，可用于求解非线性电阻电路的工作点，驱动图（DP图，DP—Drive Point）和转移特性图（TC图，TC—Transmission Character）。

1.确定直流工作点的图解法

对于只含一个非线性电阻的非线性电阻电路，如图11-15（a）所示，可以自非线性电阻两端断开，所剩电路为一线性含源一端口电路，该电路可用戴维南定理进行等效，就可得到如图11-15（b）所示的单回路电路。根据KVL，有

式（11-16）在u～i平面上对应的曲线如图11-15（c）中直线①所示。假设非线性电阻伏安关系为

对应的曲线如图11-15（c）中曲线②所示。

图11-15　负载线法求工作点示例图

在端口ab处的电压u和电流i同时满足式（11-16）和式（11-17），也就是既要位于图11-15（c）中直线①上，又要位于图11-15（c）中曲线②上，因此，在u～i平面上两条曲线的交点Q便是所求的答案，即工作点。在电子电路中，图11-15（b）中的电阻Req通常表示负载，因此，图11-15（c）中直线习惯称之为负载线，故而这种求工作点的方法又称为负载线法。

例11-5　电路如图11-16（a）所示，试求下列两种情况下该电路中非线性电阻的工作点。

（1）非线性电阻的DP图如图11-15（b）中曲线①所示；

（2）非线性电阻为理想的二极管。

图11-16　例11-5图

解　根据戴维南定理，图11-16（a）所示电路可等效为图11-16（c）所示。其中，开路电压为uoc=25V，戴维南定理等效电阻为Req=20∥20+10=20Ω。（1）图11-16（c）中戴维南定理等效电路的端口方程为

u=uoc-iReq=25-20i

这一方程对应于图11-16（b）中直线②。该直线与非线性电阻的特性曲线的交点Q就是非线性电阻的工作点，即

uQ=15V， iQ=0.5A

（2）当非线性电阻为理想二极管时，由图11-16（c）可知，理想二极管处于导通状态，相当于短路，故有

综上所述，图解分析法是利用曲线相交原理来近似求得非线性电路方程的解答，一般只适合二元方程组的求解。对于仅含有一个非线性电阻电路，可以自非线性电阻两端断开，将所剩的线性含源一端口电路用戴维南定理等效，然后分别列写出线性和非线性电路部分的电压、电流方程，并绘制出相应的电压—电流关系曲线，二者的交点就是电路的解。若所求的不是非线性电阻的端电压或电流，则仍需要通过上述过程先求得非线性电阻的端电压u或电流i，再应用替代定理将原始电路中非线性电阻用电压数值为u的独立电压源或用电流数值为i的独立电流源替代，替代后的电路为一线性电路，再用线性电路的各种分析方法求出要求的电路变量。对于含有多个非线性电阻的一端口电路，这时应用非线性与线性电阻的串、并等效及非线性电阻的串、并等效，将该一端口等效为一个非线性电阻，并将剩下的线性有源一端口电路应用戴维南定理等效，即可求出所要求的量。

对于含有理想二极管的电路，可先确定理想二极管的工作状态。若处于导通状态，则用短路线代替；若处于截止状态，则用开路代替，从而将非线性电路转化为线性电路进行分析。

2.确定DP图的图解法

表征由任意含有电阻的一端口电路的端口伏安关系特性曲线称为该二端电路的驱动点特性图，简称DP图。显然，二端非线性电阻元件的伏安特性曲线就是该电阻的DP图。

非线性电阻串联、并联与混联所构成的一端口电路也可以等效为一个电阻，等效的定义仍然是两者在端口上具有相同的电压电流关系，但不像线性电阻那样简易，也没有固定的公式可以套用。当非线性电阻串联或并联时，只有所有非线性电阻的控制类型相同时，才能有可能得出其等效电阻伏安特性的解析表达式。但是，由于大多数的非线性电阻，往往只知道它们的伏安特性曲线，而对有些曲线却难于写出或无法写出其具体的函数关系式，故而不可能应用两类基本约束解析得出非线性电阻串联、并联或混联时其等效电阻的伏安特性表达式。因此，在一般情况下，非线性电阻串联、并联与混联等效只能借助图解法即DP图进行。下面讨论如何利用单个非线性电阻的DP图，通过图解法得出由这些非线性电阻串联、并联与混联电路构成的非线性一端口电路的DP图，即求出这种电路的非线性等效电阻的DP图。

图11-17（a）表示伏安特性分别为u1=f（i1）和u2=f（i2）的两个流控或单调型非线性电阻串联构成的一端口电路，各电压、电流的参考方向如图11-17（a）中所示，两个非线性电阻的伏安特性曲线分别如图11-17（b）中的曲线①和②所示。根据KCL和KVL，有

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图11-17　图解法求非线性电阻串联电路的DP图示例

（a）两非线性电阻串联；（b）串联DP图；（c）等效非线性电阻

式（11-18）表明，只要将同一电流i所对应的曲线f1（i1）和f2（i2）上的电压值u1和u2相加即可得到该电流值所对应的等效电阻的电压值u。取不同的电流i值便可逐点描绘出等效电阻的伏安特性曲线u=f（i），如图11-17（b）中的曲线③所示，由此可得出非线性电阻串联的等效电阻模型，如图11-17（c）所示，该等效电阻仍是流控或单调非线性电阻。这表明：两个流控或单调型非线性电阻串联，其等效电阻仍是流控或单调非线性电阻。

若相串联的电阻中有一个是压控的电阻，由于在电流值的某范围内电压是多值的，故式（11-18）所对应的解析形式的分析法就不便使用，难以写出其等效一端口的伏安特性u=f（i）的解析形式，但可使用图解法得到等效电阻的伏安特性曲线。这种方法可以推广到多个非线性电阻的串联的情况。

图11-18（a）表示伏安特性分别为i1=g1（u1）和i2=g2（u2）的两个压控或单调型非线性电阻并联构成一端口，各电压、电流的参考方向如图11-18（a）中所示，两个非线性电阻的伏安特性曲线分别如图11-18（b）中的曲线①和②所示。根据KCL和KVL，有

图11-18　图解法求非线性电阻并联电路的DP图示例

（a）两非线性电阻并联；（b）并联DP图；（c）等效非线性电阻

式（11-19）表明，只要将同一电压u所对应的曲线g1（u1）和g2（u2）上的电流值i1和i2相加即可得到该电压值所对应的等效电阻的电流i值。取不同的电压u值便可逐点描绘出等效电阻的伏安特性曲线i=g（u），如图11-18（b）中的曲线③所示，由此可得出非线性电阻并联的等效电阻模型，如图11-18（c）所示，该等效电阻仍是压控或单调非线性电阻。这表明：两个压控或单调型非线性电阻并联，其等效电阻仍是压控或单调非线性电阻。

显然，上述方法可以推广到任意多个非线性电阻的串联或并联电路。对于由非线性电阻串联和并联而构成的混联电路也可以运用串联和并联相互之间的关系，根据连接的情况，逐步用图解法进行等效就得到混联等效电阻的伏安特性。这种逐级等效的思想完全类同于线性电阻电路构成的一端口电路，从离端口的最远处开始，逐级按串联或并联向端口处等效。

上面介绍的对非线性电阻串联、并联以及混联作DP图的图解法称为曲线相加法。这种方法普遍适用于流控电阻、压控电阻以及单调型电阻的串联、并联以及混联，这些电阻连接电路也可以含有线性电阻，但最终等效电阻一般必为非线性电阻。

TC图是非线性电阻构成的双口电路中两个端口的激励与响应之间的关系曲线，其求取方法除了图解法还有分段线性化法。

例11-6　图11-19（a）所示一端口电路由线性电阻R，理想二极管和直流电压源串联组成。电阻R的伏安特性如图11-19（b）所示，画出此串联电路的伏安特性。若将线性电阻R和理想二极管与直流电流源三者并联，构成图11-19（c）所示电路，求此并联电路的伏安特性曲线。

解　（1）各元件的伏安关系如图11-19（b）所示，串联的电路方程为

u=Ri+ud+U0， i＞0

串电路的伏安特性可用图解法求得，即如图11-19（d）中的折线。

（2）并联的电路方程为

图11-19　例11-6图

当u＞0时，二极管反偏而截止，相当于开路；当u＜0时，二极管正偏而导通，相当短路。所以，当u＞0时，用图解法求得的伏安特性如图11-19（e）中的折线。

例11-7　用图法求图11-20（a）所示一端口电路的伏安关系曲线。

图11-20　例11-7图

解　先在u～i平面上画出二极管D1、1Ω电阻和3V电压源串联支路的伏安特性曲线，如图11-20（b）所示。再画出3Ω电阻和二极管D2串联支路的伏安特性曲线，如图11-20（c）所示。最后将两条特性曲线的纵坐标相加，得到所求一端口电路的伏安特性曲线，如图11-20（d）所示。