借助傅里叶级数展开式，可以将正弦交流电路分析中的相量分析法应用到非正弦周期稳态电路的分析中，傅里叶级数还有很多其它的应用，特别是在通信和信号处理等方面，如频谱分析、滤波、检波与整流和谐波失真等。本节作为例子仅简要介绍频谱分析仪。

频谱分析仪是研究电信号频谱结构的仪器，它能给出不同频率中每个频率的能量分布。可用于信号失真度、调制度、谱纯度、频率稳定度和交调失真以及放大器和滤波器等电路系统的信号参数测量，频谱分析仪是一种多用途的电子测量仪器，又可称为频域示波器、跟踪示波器、分析示波器、谐波分析器、频率特性分析仪或傅里叶分析仪等，其应用十分广泛，被称为工程师的射频万用表。

传统的频谱分析仪的前端电路是一定带宽内可调谐的接收机，输入信号经变频器变频后由低通滤器输出，滤波输出作为垂直分量，频率作为水平分量，在示波器屏幕上绘出坐标图，所得到的图就是输入信号的频谱图。由于变频器可以达到很宽的频率，例如30Hz～30GHz，与外部混频器配合可扩展到100GHz以上，因此，频谱分析仪是频率覆盖最宽的测量仪器之一。无论测量连续信号或调制信号，频谱分析仪都是很理想的测量工具。但是，传统的频谱分析仪也有明显的缺点，它只能测量频率的幅度，缺少相位信息，因此，属于标量仪器而不是矢量仪器。

基于快速傅里叶变换（FFT（Fast Fourier Transformation））的现代频谱分析仪，通过傅里叶级数将被测信号分解成分立的频率分量，达到与传统频谱分析仪同样的结果。这种新型的频谱分析仪采用数字方法直接由模拟/数字转换器（ADC）对输入信号取样，再经FFT处理后获得频谱分布图。现代频谱分析仪能以模拟方式或数字方式显示分析结果，能分析1Hz以下的甚低频到亚毫米波段的全部无线电频段的电信号。仪器内部若采用数字电路和微处理器，具有存储和运算功能；配置标准接口，就容易构成自动测试系统。

由前面讨论可知，傅里叶级数给出了信号f（t）各次频率的振幅和相位，这正是信号f（t）的频谱，这些频谱有助于识别信号的特征，它能指出哪些频率成分对输出信号的形状起主要作用，哪些信号则不起主要作用等等。不同的信号都有其不同的频率范围，表9-1给出了常见信号的频率范围。

表9-1　常见信号的频率范围(www.daowen.com)

周期信号的振幅频谱中，若只包含有限个傅里叶系数Ak，则称为有限带宽周期信号，其傅里叶级数为

上式表示，若ω已知，只要2N+1项的傅里叶级数就能完全确定函数f（t），这个结果导致了采样定理的成立：一个含N个谐波傅里叶级数的有限带宽周期信号，可以唯一地由它在一个周期内2N+1个瞬间值来定义。

根据采样定理，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息，FFT变换则说明对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息。所以只要时间序列足够长，采样足够密，频域采样也就可较好地反映信号的频谱趋势，所以FFT可以用以进行连续信号的频谱分析。