任意一个非正弦周期电压和电流都可用一个周期函数来表示，即

式中，T——周期函数f（t）的周期；

k——正整数，且k=0，±1，±2，±3，…

设给定的非正弦周期信号f（t）满足下列狄里赫利条件：①在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；②在一个周期内只有有限个极大值和极小值；③绝对可积：。则非正弦周期信号就可展开成傅里叶级数。在电工技术中所遇到的周期信号，通常满足这一条件。因此，我们可以将非正弦周期信号f（t）展开为下列傅里叶级数形式

若将频率相同的余弦项和正弦项合并，且表示为正弦函数形式，即

akcoskωt+bksinkωt=Akmsin（kωt+φk）

则式（9-2）可改写为

式中，——角频率；

T——周期函数f（t）的周期；

a0，ak，bk——周期函数f（t）的傅里叶级数展开系数，可按下列公式计算

由式（9-2）和式（9-3）不难得出两种不同形式系数之间的关系：

式中常数项A0称为周期函数f（t）的直流分量或恒定分量，它是周期函数f（t）在一个周期内的平均值。A1msin（ωt+φ1）称为周期函数f（t）的基波或1次谐波，A2msin（2ωt+φ2）称为周期函数f（t）的2次谐波，Akmsin（kωt+φk）为k次谐波等等。2次或2次以上的谐波统称为高次谐波。把k为奇数的谐波称为奇次谐波；k为偶数的谐波称为偶次谐波。

图9-2　幅度频谱

为了直观、形象地表示一个周期函数分解为傅里叶级数后所包含的频率分量及其各分量所占“比重”，用线段的高度表示各次谐波振幅，画出Akm～kω的图形，如图9-2所示。该图形称为周期函数f（t）的幅度频谱或幅度频谱图。用同样的方法画出φkm～kω的图形就可得到周期函数f（t）的相位频谱。两者合称周期函数f（t）的频谱。一般来说，若没作特别的说明，所说的频谱专指幅度频谱。

在幅度频谱图和相位频谱图中，每一条竖直线段分别表示一个谐波分量的幅值和初相位，其长度与Akm和φk成比例，统称为谱线。周期函数的频谱具有如下特点：

（1）离散性。由于谐波的角频率是ω的正整数倍，所以频谱由一系列不连续的频谱线组成，即谱线是离散的。

（2）谐波性。每条谱线只出现在基波角频率ω的正整数倍的频率位置kω上，即相邻两谱线间的间隔等于基波角频率ω。

（3）收敛性。在幅度频谱中，各次谐波对应谱线的高度随着频率的增高虽有起伏，但其总的趋势是逐渐减小的，当谐波次数无限增高时，谱线高度无限减小，从而谱线渐次收敛。

频谱图提供了一种从谐波的幅度和谱线密度两个方面研究函数f（t）的频率特性的图像方法。函数称为频谱函数。

例9-1　求图9-3所示周期性矩形信号f（t）的傅里叶级数展开式及其频谱。

解　f（t）在第一个周期内的表达式为

所以有

图9-3　例9-1图

当k为偶数时，上述结果为零，当k为奇数时，有

即有，

由此可求得

取展开式中前三项，即取到5次谐波时画出的合成曲线如图9-3（d）中虚线所示。(www.daowen.com)

例9-2　图9-4（a）所示信号为经全波整流后得到的波形，试将其展开为傅里叶级数，并画出相应的频谱图。

图9-4　例9-2图

解　图9-4（a）所示波形所对应的函数是周期为2T的正弦波整流而得，故其表达式为

由于f（t）为偶函数，所以有bk=0，而a0为

由于图9-4（a）所示波形的角频率，而傅里叶级数的基波角频率，因而可得

于是，所求的傅里叶级数为

根据此傅里叶级数的展开式可画出该函数的幅度频谱和相位频谱分别如图9-4（b）和（c）所示。

电工技术中遇到的周期函数常具有某种对称性，利用函数的对称性可以简化傅里叶级数系数的计算工作，下面讨论函数的对称性与傅里叶级数系数的关系。

（1）奇函数的傅里叶级数

若函数f（t）是时间t的奇函数，即有f（-t）=-f（t），则其波形关于坐标原点对称，习惯上称之为原点对称函数。图9-5给出了两个奇函数波形。

图9-5　奇函数波形

由于f（t）为奇函数，所以傅里叶级数系数计算公式中f（t）coskωt为奇函数，而f（t）sinkωt为偶函数，所以有ak=0（k=0，1，2，…）。因此，周期奇函数f（t）的傅里叶级数展开式中，只含有正弦谐波分量，即它只可能含有奇函数类型的谐波，有

（2）偶函数的傅里叶级数

若函数f（t）是时间t的偶函数，即有f（-t）=f（t），则其波形对称于纵坐标轴，习惯上称之为纵轴对称函数。图9-6给出了两个偶函数波形。

由于f（t）为偶函数，所以傅里叶级数系数计算公式中f（t）coskωt为偶函数，而f（t）sinkωt为奇函数，所以有bk=0（k=1，2，…）。因此，周期偶函数f（t）的傅里叶级数展开式中，只含有恒定分量a0和余弦谐波分量，即它只可能含有偶函数类型的谐波，有

图9-6　偶函数波形

（3）奇谐波函数的傅里叶级数

设周期函数f（t）的周期为T，并且满足，即将函数f（t）的波形向左或向右平移半个周期后，与原函数f（t）的波形对于横轴上下镜像，也就是说该函数波形的前半周期和后半周期互为镜像，因此，将具有这种波形的对称周期函数称为半周期镜像对称函数。图9-7给出了两个半周期镜像对称函数波形。

图9-7　半周期镜像对称函数波形

由于半周期镜像对称函数的前半周期和后半周期互为镜像，所以它在一个周期内的积分为零，这表明其傅里叶级数中不含有恒定分量，即有a0=0，a2k=b2k=0（k=1，2，3，…）。即半周期镜像对称函数的傅里叶级数系数ak，bk只有k取奇数时才为非零值，因而这种函数的傅里叶级数展开式中只会含有奇次谐波分量。习惯上也称这种函数为奇谐波函数，其傅里叶级数的一般展开式为

（4）偶谐波函数的傅里叶级数

设周期函数f（t）的半周期为，并且满足，即将函数f（t）的波形平移半个周期后所得到的波形与原函数f（t）的波形完全重合，则该是函数为称为半周期重叠函数。图9-8给出了两个半周期重叠函数波形。

图9-8　半周期重叠函数波形

由于，则必有a2k-1=b2k-1=0（k=1，2，3，…），因此，其傅里叶级数展开式中不含ω的奇次谐波分量，即半周期重叠函数的傅里叶级数展开式最多只含有恒定分量、正弦和余弦的偶次谐波项，因此，习惯上将半周期重叠函数称为偶谐波函数，其傅里叶级数的一般展开式为

可见，当波形满足某种对称关系后，傅里叶级数中某些项将不出现。熟悉傅里叶级数这种性质后，可以对波形应包含哪些分量迅速作出判断，简化傅里叶级数的计算。