图7-8（a）表示RLC串联电路，它在正弦电压源作用下的相量模型如图7-8（b）所示，其中，电源的频率为ω，则电路的输入阻抗为

其中

图7-8　RLC串联电路谐振电路

1.谐振条件和谐振频率

假设电路中各元件参数一定，电压源的频率ω可变，根据式（7-8）电路的输入阻抗Z（jω）仅为频率的函数。电路中电阻R、感抗XL=ωL、容抗、电抗、阻抗模和阻抗角φZ（ω）随频率ω变化的曲线如图7-9所示。

图7-9　RLC串联电路电抗、阻抗随频率变化曲线

（a）电抗、阻抗曲线；（b）阻抗角曲线

由式（7-8）和式（7-9）可知，当，即时，有，φZ（ω）=0，电压uS与电流i相位相同，电路发生谐振。因此，RLC串联电路的谐振条件为

式（7-10）中仅由电路自身的元件参数L和C确定，为电路固有的，所以称为电路的固有谐振角频率，简称为谐振角频率，称为电路的固有频率（Natural Frequency）。

由式（7-10）可知，当RLC串联电路外施激励源的频率与电路本身的固有频率相同时，电路就会发生串联谐振。若电路的元件参数L和C保持为定值，则可调节电源频率使之等于电路自身的谐振频率，使电路发生谐振，称这种调节方法为调频调谐；若保持电源频率不变，通过调整电路参数L或（和）C来改变自身的调谐频率，使之与电源频率相等，从而实现使电路发生谐振，如果调节的是电感，则称调感调谐，如果调节的是电容，则称调容调谐。总之在电感L、电容C和电源角频率ω这三个量中，无论改变哪个参量都可以使电路满足谐振的条件，使之与某一特定频率的信号谐振，这一过程称为调谐。

2.谐振时的电压和电流

RLC串联谐振时电路阻抗的电抗分量X（ω0）=0，所以电路的谐振阻抗为

即谐振时电路阻抗呈现纯电阻，为其模的最小值R。电感和电容的串联部分对外等效为短路。若在端口上外加电压源，则谐振时端口电流为

可见，电流与电压源电压同相，且达到最大值，称为谐振峰。

谐振时电感和电容的电压分别为

总电压为

表明发生串联谐振时，电感电压和电容电压大小相等，相位相反，相互抵消，电感与电容串联部分对外等效于短路，外施电压全部施加于电阻两端，此时的电阻电压也是谐振峰。

3.谐振时的功率和能量

为了方便讨论谐振时电路及各元件的功率，假设电压源电压为uS（t）=USmcos（ω0t），则有

由于谐振时串联回路的端口电流和电压源电压同相位，所以整个电路的功率因数cosφZ0=1，电路吸收的功率为

谐振时电感和电容吸收的功率分别为

因此，任何时刻进入电感和电容的总功率为零，即PL（t）+PC（t）=0。这说明电源发出的功率全部被电阻吸收。电感和电容之间的能量交换过程如下：

当电流i减小时，电感中磁场能量减小，所放出的能量全部被电容吸收，并转换为电场能量，如图7-10（a）所示；当电流增加小，电容电压u减小，电容中电场能量减小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，如图7-10（b）所示。能量在电感和电容间往复交换，形成电压和电流的正弦振荡。显然，谐振时电磁场能量的总和之所以能够保持不变，是因为激励电压源在不断地补偿电阻所消耗的能量，这相当于形成了由理想电感和电容元件构成的串联电路，因而所产生的振荡与理想元件L、C电路由初始储能引起的等幅振荡相同，其振荡角频率完全由电路参数L和C决定。

图7-10　RLC串联电路谐振时能量交换

4.品质因数与特性阻抗

由于RLC串联电路的电阻会不断地损耗电能而产生热能，因此，要维持谐振电路中电容与电感之间所进行的同期电磁振荡，电源就必须不断地向电路提供电能，以补偿电阻消耗的那部分能量。显然，如果与谐振时电路中所储存的总电磁能相比，每振荡一次电路所消耗的电能越少，则电路的品质就会越好。为了评价RLC串联谐振电路的品质，定量反映谐振电路的储能效率，在电路理论中引入谐振电路的品质因数这一重要参数，品质因数Q定义为　

由定义式可知，电路的品质因数越大，电容与电感之间交换的参量就越大，电磁振荡的幅度也就越大。

为了方便计算谐振电路的品质因数，总希望建立电路的品质因数与电路参数之间的关系。谐振时RLC电路所储存的总能量

谐振时电路在一个周期内消耗的平均能量为

由品质因数定义可得

可见，Q值是电路在谐振状态下其感抗或容抗与电阻之比。

将谐振时电路中彼此相等的感抗和容抗定义为谐振电路的特性阻抗，用符号ρ表示，即

则串联谐振电路品质因数Q与其特性阻抗ρ的关系为

引入品质因数Q后，可以用它来表示谐振时电感电压、电容电压与电源电压之间的大小关系

故有

可见，电感电压和电容电压的大小均为电源电压大小的Q倍，若当Q＞1时，则电感和电容两端的电压将分别出现比电源电压高Q倍的过压。因此，串联谐振又称为电压谐振。这种串联谐振时出现的过压，在电路中将产生有利或不利的作用。如在低电压的电路系统中（如无线电接收系统），利用串联谐振时出现的过压来获得较大的输入；而在高电压的电路中（如电力系统），这种过压将会危及系统的安全。

电路的品质因数Q值可通过测定谐振时的电感或电容电压来求得，即

5.RLC串联电路的频率响应

图7-8所示RLC串联电路谐振电路的转移电压比为

代入，令，则上式可改写为

频率响应分别为

由式（7-24a）可知，当ω=0或ω=∞时，有；当时，电路发生谐振，达到最大值，说明该电路具有带通特性，对应的特性曲线如图7-11（a）所示，图7-11（b）给出了不同Q值的幅频特性曲线。因为任何Q值相等的RLC串联电路的频率特性曲线都是相同的，所以，这种曲线又称为串联谐振电路的通用曲线。(www.daowen.com)

图7-11　RLC串联电路谐振频率特性曲线

根据式（7-24）和图7-11可以看出

在η=1，即谐振点处出现峰值，在其邻域η=1+Δη内有较大幅度的输出信号，当信号的频率偏离谐振频率时，输出信号的幅值从峰值开始下降。这说明RLC串联电路具有在全频域内选择各自谐振信号的性能，但具有带通特性，工程上称这一性能为选择性（Selectivity）。通带限定的频域范围称为通频带宽，记为BW。工程上按下式决定通频带的宽度

式（7-25）取等号，根据式（7-24a）有

解得

低半功率点频率为

高半功率点频率为

则半功率点频率与谐振频率的关系为

则通带的频带宽度为

通带的频率范围为

ω1≤ω≤ω2

ω1、ω2分别位于ω0两侧，因此ω0又常称为中心频率，ω1在谐振点左侧，称为下界或下截止频率或低半功率点频率；ω2在谐振点右侧，称为上界或上截止频率或高半功率点频率。

称为相对失谐，表示电路工作频率f对谐振频率f0的相对失谐。

通常谐振电路总是工作在谐振频率处或其邻近处，当电路的品质因数Q≥10时，称为高Q电路（High-QCircuit）。在高Q电路的所有实际应用中，半功率点频率都可认为是对称于谐振频率的，且可近似地按下式表示

工程上常用通带的带宽BW来比较和评价电路的选择性。由于带宽BW与品质因数Q值成反比，Q值越大，BW越窄，电路选择性越好，抑非能力越强，反之Q值越小，BW越宽，选择性越差，但宽带包含的信号流失少，有利于减少信号的失真。

综上所述，谐振电路可以用以下五个相关的参数来表征：两个半功率点的频率ω1、ω2，谐振频率ω0，带宽BW和品质因数Q。

图7-12　例7-7图

例7-7　在图7-12所示的电路中，已知R=2Ω，L=1mH，C=0.4μF。

（1）求谐振频率和半功率点频率；

（2）计算品质因数和带宽；

（3）确定在ω0、ω1和ω2处的电流幅度。

解　（1）谐振频率为

低半功率点频率为

高半功率点频率为

（2）带宽为

BW=ω2-ω1=2krad/s

品质因数为

（3）当ω=ω0时，有

ω=ω1和ω=ω2时，则

此题还可先求品质因数Q，由Q得到带宽BW，再根据BW求半功率点频率，即

因为Q＞10是高品质因数电路，所以半功率点频率为

例7-8　RLC串联电路的谐振频率为578Hz，通带宽度为250Hz，已知L=0.32H。

（1）求R、C、品质因数及截止频率；

（2）设输入电压有效值为23.2V，求谐振频率和截止频率时电路的平均功率；

（3）求谐振时电感电压和电容电压。

解　

（1）　

由，可得

截止频率分别为

（2）谐振时电路的平均功率为

在截止频率处，电流下降至电流I0的，故功率减小到P0的一半，所以当f1=759Hz和f2=1009Hz时，电路平均功率为

（3）谐振时电感电压和电容电压相等，为

UL=UC=QU=3.5×23.2=81.2V