电路在冲激激励作用下的零状态响应称为冲激响应。零状态的一阶电路在冲激激励下的响应为一阶电路的冲激响应；零状态的二阶电路在冲激激励下的响应为二阶电路的冲激响应。图4-48（a）为一个冲激电流激励下的RC并联电路。

当t＜0时，电流源Kδ（t）=0，电流源开路，电路处于零状态，即u（0-）=0；

在0-＜t＜0+这一瞬间，冲激电流源对电容充电，电容储存能量，此时电容电压uC（0+）≠0；因此，当电路中存在冲激电源时，换路定则不再适用；

图4-48　RC一阶电路的冲激响应

当t＞0之后，电流源Kδ（t）=0，此时电流源又相当于开路，电容通过电阻放电，此时电路中的响应相当于零输入响应。

当t=0时，根据KCL，电路的电流方程为

对式（4-107）两边同时积分可得

式（4-108）中相加等于一个冲激函数，如果uC为冲激函数，即为冲激函数，则为冲激函数的导数，这样显然不能和方程的右边相等。也就是说不是冲激函数，只能为有限值。所以左方第二个积分为零。uC跃变，则为冲激函数，所以式（4-108）变为

C[uC（0+）-uC（0-）]=K

因u（0-）=0，可解得

当t＞0之后，激励值为零，从0+开始，电路的响应相当于在初始值下的零输入响应，故

式（4-110）中τ=RC。将式（4-109）代入式（4-110），得积分常数为

则电容电压为

电容电压波形如图4-49（b）所示，从图中可以看出电容电压在t=0处有跃变，所以，式（4-111）中的ε（t）不仅有起始作用，还表示此处有跃变，即电容电压从0跃变到。

电容电流为

其波形如图4-48（c）所示。

同理，图4-49（a）所示为一个冲激电压源作用于RL串联电路，当t＜0时，电压源Kδ（t）=0，电压源相当于短路，电路处于零状态，即iL（0-）=0；在0-＜t＜0+瞬间，冲激电压源在瞬间完成对电感的充磁，电感电流突然增大，电感储存能量，此时电感电流iL（0+）≠0；当t＞0之后，电压源Kδ（t）=0，此时电压源又相当于短路，电感通过电阻释放能量，此时电路的响应相当于零输入响应。

图4-49　RL一阶电路的冲激响应

当t=0时，根据KCL，电路的电流方程为

对式（4-113）两边同时积分可得

显然，在式（4-114）中，RiL只能是有限值，而则是冲激函数，因此，式（4-114）中的第二项积分为零，所以有

L[iL（0+）-iL（0-）]=K

利用iL（0-）=0，从而可得

当t＞0之后，激励值为零，从0+开始，电路的响应相当于在初始值下的零输入响应，故

式（4-116）中。将式（4-115）代入式（4-116），得积分常数为

则电感电流为

电感电压为

由式（4-117）和式（4-118）可给出电感电流和电感电压波形分别如图4-49（b）和图4-49（c）所示。在t=0瞬间，冲激电压源Kδ（t）全部加在电感两端，使电感电流发生跃变。随后电源相当于短路，电感通过电阻释放能量，电感电压降低，放电电流逐渐减小，直至为零。

由此可见，当动态电路中加入冲激激励时，电容上可能会有冲激电流，电感两端可能会有冲激电压，因而导致电感电流和电容电压的跃变，此时，换路定则不再适用。

图4-50　RLC二阶电路的冲激响应

零状态的二阶电路在冲激激励下的响应就是二阶电路的冲激响应。图4-50是一个零状态的RLC串联电路，在t=0时冲激电压源δ（t）接通。

若以uC为变量，根据KVL可得电路方程

由于δ（t）在t≠0时为零，而在t=0时电路受到冲激电压激励而获得了一定能量，在t≥0+时放电，即在t≥0+时，有

要解方程式（4-120），关键得求出初始能量对应的初始条件uC（0+）和。为此把式（4-119）在0-至0+时间间隔内积分，得

由于为零状态，所以有uC（0-）=0，iL（0-）=0，故有。由于uC不可能是阶跃函数或冲激函数，否则式（4-119）不能成立，就是说uC不可能跃变。仅才能发生跃变。这样有，uC（0+）=uC（0-）=0，所以有

即

该式说明，冲激电压源在0-至0+时间间隔内使电感电流跃变，跃变后，电感中储存一定的磁场能量，而冲激响应就是由此磁场能量引起的变化过程。

在t≥0+时为零输入解，其过程和二阶电路零输入响应相同，即

由初始条件有

联立求解得

所以，电容电压为

根据单位冲激函数δ（t）和单位阶跃函数ε（t），可以得出同一电路中阶跃响应与冲激响应的关系。以一阶电路为例，设所加激励为x（t），产生的响应为y（t），电路的微分方程为

若施加激励为x（t）=ε（t），其对应的阶跃响应为s（t），则电路的微分方程可以写成

对于同一电路，若施加的激励为x（t）=δ（t），对应一阶电路的冲激响应为h（t），则电路的微分方程可以写成

对式（4-122）两边进行求导，并利用单位冲激函数δ（t）和单位阶跃函数ε（t），则有

比较式（4-123）和式（4-124），可以看出，对于同一电路，电路的阶跃响应s（t）和冲激响应h（t）的关系为(www.daowen.com)

式（4-125）和式（4-126）表明，线性电路的单位阶跃响应s（t）对时间的导数就是该电路对应的单位冲激响应h（t）。反之，线性电路的单位冲激响应h（t）对时间的积分就是该电路的单位阶跃响应s（t）。利用这一关系，可以先计算同一电路在阶跃激励下的单位阶跃响应s（t），然后对阶跃响应求导而得到其单位冲激响应h（t）。因此，电路的冲激响应可以有两种计算方法，一种是通过直接分析其过渡过程来进行求解，另一种是利用冲激响应与阶跃响应的关系求解。

例4-29　电路如图4-51（a）所示，求下列三种情况下的响应uC（t）。

（1）iS=δ（t）A，uC（0-）=0；

（2）iS=δ（t）A，uC（0-）=1V；

（3）iS=3δ（t-2）A，uC（0-）=2V

图4-51　例4-29

解　图4-51（a）所示电路的戴维南等效电路如图4-51（b）所示。其中

uoc=1×103iS， Req=（1+2）kΩ=3×103Ω

电路的单位阶跃响应为

（1）当iS=δ（t）A，uC（0-）=0时，电路的冲激响应为

（2）当iS=δ（t）A，uC（0-）=1V时，电路的响应看做是冲激响应与零输入响应之和，即

（3）当iS=3δ（t-2）A，uC（0-）=2V时，电路的响应看做是延迟的冲激响应与零输入响应之和，即

例4-30　求图4-52（a）所示电路中零状态响应iL。

图4-52　例4-30

解　当电路为ε（t）和δ（t）多个激励源共同作用时，可根据线性电路的叠加性质，分别求出ε（t）和δ（t）单独作用时的零状态响应，然后进行叠加。

（1）求单位阶跃响应。令δ（t）不作用，可得图4-52（b），由该图可得

uR+uL+2iL=ε（t）

即

解得

（2）求单位冲激响应。令ε（t）不作用，可得图4-53（c），由该图可得

即

对上式两边积分得

再利用iL（0-）=0，可求得iL（0+）=-5

t≥0+时的方程为

进而可求得

h（t）=iL=-5e-7tε（t）A

所以，电路零状态响应为

图4-53　例4-31图

例4-31　图4-53所示电路中，已知uC（0-）=0，iL（0-）=0，R=0.2Ω，L=0.25H，C=2F，iS（t）=δ（t）A，试求单位冲激响应iL（t）。

解　方法一：根据KVL和KCL及元件的伏安关系列出微分方程，直接求解微分方程。

对电路应用KCL列节点方程有

iR+iL+iC-0.5iC=iS

将，，iS（t）=δ（t）A代入上式。并代入已知参数整理得

已知uC（0-）=0，iL（0-）=0，在t=0时电路受冲激电流源作用而获得了能量，为求出与初始能量对应的初始条件uC（0+），iL（0+），把上式从t=0-到t=0+区间积分有

由于iL不可能是阶跃函数或冲激函数，否则电路方程不成立，所以iL不可能跃变，仅才可能跃变，于是有

而iL（0+）=iL（0-）=0，

所以

上式说明冲激电流源在t=0-到t=0+区间使电容电压发生了跃变，。t≥0后为零输入响应

对应微分方程的特征方程为

p2+5p+4=0

解得特征根

p1=-1， p=-4

代入已知初始条件值有

A1+A2=0 -A1-4A2=4

解得

因此，冲激响应

方法二：利用阶跃响应和冲激响应的关系，即求解。

根据例4-28所求得的单位阶跃响应

可求得冲激响应为

由于在t≥0+时δ（t）=0，上式中的第一项为零，所以冲激响应在t≥0+时