电路对于单位阶跃信号激励下的零状态响应称为单位阶跃响应（Unit Step Response）。当电路的激励源为单位阶跃电压源ε（t）V或单位阶跃电流源ε（t）A时，相当于将电路在t=0时接通1V的直流电压源或1A的直流电流源。因此，单位阶跃响应与直流激励响应相同。单位阶跃响应用符号s（t）表示。已知电路的s（t），如果该电路的恒定激励为uS（t）=USε（t）或iS（t）=ISε（t），则电路的零状状态响应为USs（t）或ISs（t）。在电路理论中，把单位阶跃电压源ε（t）V或单位阶跃电流源ε（t）A在零状态的一阶电路中产生的响应称之为一阶电路的阶跃响应；把单位阶跃电压源ε（t）V或单位阶跃电流源ε（t）A在零状态的二阶电路中产生的响应称之为二阶电路的阶跃响应。

例4-26　图4-43（a）所示电路中，uS（t）的波形如图4-43（b）所示。试求零状态响应uo（t）。

图4-43　例4-26图

解　方法一：写出激励的表达式，根据零状态响应和激励的线性关系和延时特性直接写出响应。

根据零状态响应和激励的线性关系和延时特性可得

uo（t）=4（1-e-2.5t）ε（t）-8[1-e-2.5（t-0.4）]ε（t-0.4）+4（1-e-2.5（t-0.8））ε（t-0.8）V

方法二：把激励分为若干时间段，每一时间段的激励为一常数，分别求出每一时间段的响应。

时间常数

当0≤t≤0.4s时，uo（∞）=4V，得

uo（t）=4（1-e-2.5t）V 0≤t≤0.4s

当0.4s≤t≤0.8s时，uo（0.4+）=4（1-e-1）V，uo（∞）=-4V，得

uo（t）=[-4+4（1-e-1）+4]e-2.5（t-0.4）V 0.4s≤t≤0.8s

当t≥0.8s时，uo（0.8+）=-1.6V，uo（∞）=0，得

uo（t）=-1.6e-2.5（t-0.8）V t≥0.8s

例4-27　图4-44（a）是RC分压器的电路模型，试求输出电压的阶跃响应。

图4-44　例4-27图

解　由于将图4-44（a）所示电路中的电压源用短路代替后，电容C1和C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电路，其时间常数为

在t＜0时，该电路是由1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压按照两个电阻串联的分压公式计算，其稳态值为

现在计算初始值uC2（0+）。在t＜0时，ε（t）=0，电路处于零状态。在t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下KVL方程

此式说明电容电压的初始值不再为零，它要发生跃变，其原因在于阶跃发生的时刻，电容相当于短路，电容中通过了一个非常大的电流。为了计算出，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个节点的总电荷量保持恒定，由此得到以下方程

由以上两个方程求解方程得到

用三要素公式得到输出电压的表达式为

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由上式可以看出，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。当改变电容C1可以得到如下三种情况：

当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；

当R1C1＜R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，称为欠补偿；

当R1C2＞R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，称为过补偿。

这三种情况的波形如图4-44（b）所示。这就是在很多高频测量仪器的输入RC分压电路（例如示波器的探头）中设置一个微调电容器的原因，用户可以调节这个电容器来改变时间常数，令R1C1=R2C2，从而得到没有失真的输出波形。

例4-28　图4-45所示电路中，已知uC（0-）=0，iL（0-）=0，R=0.2Ω，L=0.25H，C=2F，iS（t）=ε（t）A，试求单位阶跃响应iL（t）。

图4-45　例4-28图

解　对电路应用KCL列节点方程有

iR+iL+iC-0.5iC=iS

将，，iS（t）=ε（t）A代入上式，并代入已知参数整理得

这是一个关于iL的二阶线性非齐次微分方程，其解为

iL（t）=i′+i″

其中，特解i′=1。

通解

特征方程为

p2+5p+4=0

解得特征根

p1=-1， p=-4

所以

iL（t）=1+A1e-t+A2e-4t

将初始条件

uC（0+）=uC（0-）=0，iL（0+）=iL（0-）=0，代入上式有

1+A1+A2=0， -A1-4A2=0

解得

所以，单位阶跃响应iL（t）为

可见，该电路的动态过程是过阻尼性质的。