理论教育 二阶电路零状态和全响应的响应特性分析

二阶电路零状态和全响应的响应特性分析

时间:2023-07-02 理论教育 版权反馈
【摘要】:二阶电路的初始储能为零,仅由外施加激励源引起的响应称为二阶电路的零状态响应。前者由零输入响应和零状态响应之和求得;后者按上一节零状态响应的求解思路一样直接求解微分方程,只不过此时的初始条件不为零。例4-21图4-34所示电路,t=0时开关S闭合,求零状态响应uo。

二阶电路零状态和全响应的响应特性分析

二阶电路的初始储能为零,仅由外施加激励源引起的响应称为二阶电路的零状态响应。在如图4-33所示电路中,开关S原来是断开的,且电路已处于稳定状态,电容和电感均无初始储能,即uC(0-)=0,iL(0-)=0。那么该电路中的电容电压uC(t)、回路电流i(t)和电感电压uL(t)在t≥0后随时间的变化规律就是电路在直流激励下的零状态响应。

图4-33 零状态的RLC串联电路

在图4-33所示RLC串联电路中,以电容电压uC(t)为待求对象,应用KVL及元件伏安关系,可得在t≥0时,uC(t)满足的微分方程

令该电容电压的特解即稳态解为u′C=K,代入式(4-96),解得u′C=US

电容电压的暂态解u″C为方程(4-96)对应的齐次方程的通解,即有

所以,方程(4-96)的解为

其中,A1、A2为积分常数,由初始条件决定,其初始条件为

根据上节的讨论,电容电压的暂态解u″C的变化规律根据特征根的不同有三种不同形式,因而与特解u′C合在一起构成的零状态响应也有如下三种情况:

(1),特征根p1、p2是两个不相等的负实根,为非振荡充电过程,电容电压为

(2) ,特征根p1、p2是两个相等的负实根,为临界非振荡充电过程,电容电压为

(3),特征根p1、p2是两个不相等的且有负实部的共轭复根,为振荡充电过程,电容电压为

uC(t)=u′C+u″C=US+e-αt(B1cosωt+B2sinωt)=US+Ae-αtsin(ωt+β)

其中的常数由初始条件式(4-98)、式(4-99)决定。

如果电容或电感的初始储能不为零,那么电路的响应就由初始的储能和外加的激励共同决定,这就是电路的全响应,二阶电路的全响应,既可以应用叠加定理求得,也可以通过直接求解二阶微分方程得到。前者由零输入响应和零状态响应之和求得;后者按上一节零状态响应的求解思路一样直接求解微分方程,只不过此时的初始条件不为零。

例4-21 图4-34所示电路,t=0时开关S闭合,求零状态响应uo(t)。

图4-34 例4-21

解 首先建立t>0时关于待求量uo(t)的微分方程。对节点①、②列KCL方程为

联立求解得

初始条件为

该方程的特征方程为p2+3p+2=0。

得特征根为p1=-1,p2=-2。故得暂态解为

A1e-t+A2e-2t

当t→∞时,电路达到稳定状态,故有uo(∞)=u2(∞)=5V,此即为电路的稳态解。故得零状态解为

uo(t)=5+A1e-t+A2e-2t

应用初始条件有

解得A1=-10,A2=5。

故得

uo(t)=(5-10e-t+5e-2t)V

例4-22 图4-35所示电路,t<0时开关S打开,且iL(0-)=5A,uC(0-)=2V,令在t=0时刻闭合S,求t>0时的uC(t)。

图4-35 例4-22

解 以电容电压uC(t)为待求量,列写微分方程

上述4个方程联立求解,得t>0时电路的微分方程为

特征方程为

解得特征根为

p1=-0.61, p2=-0.82

故方程的自由解为

u′C=A1e-0.61t+A2e-0.82t

t>0时电路达到稳定状态时有

所以,电路的全响应为

由初始条件

联立求得(www.daowen.com)

A1=8.54, A2=-9.4

故得

图4-36 例4-23

例4-23 图4-36所示电路中,已知R1=3Ω,R2=1Ω,L=1H,C=1F,开关S原在位置1,电路处于稳态。t=0时开关S由1点转接到2点,试求t≥0时的电流iL

解 换路前,电路已处于稳态,可求得

iL(0-)=1A, uC(0-)=1V

根据换路定则有

iL(0+)=iL(0-)=1A,

uC(0+)=uC(0-)=1V

根据换路后的电路,依据KVL有

依据KCL有

可得

代入参数得

特征方程为

p2+4p+4=0

求得特征根为

p1=p2=-2

由于特征根为两个相等的负实根,所以,对应齐次方程的通解为

uh=(A1+A2t)e-2t

稳态时的响应为

所以,微分方程的全解为

uC(t)=up+uh=(A1+A2t)e-2t

由初始条件

求得待定系数

所以,方程的解为

t≥0时的电流iL

例4-24 图4-37所示电路中,US=50V,R=50Ω,L=0.5H,C=100μF,已知:iL(0-)=2A,uC(0-)=0,求iL,iR

解 以电感电流iL为未知量,应用节点分析法列方程,得

图4-37 例4-24

将已知参数代入上式中,得

特征方程为

p2+200p+20000=0

特征根为

p=-100±j100

所以方程的全解为

iL(t)=1+Ae-100tsin(100t+φ)

根据初始条件,可得

iL(0-)=1+Asinφ=2

100Acosφ-100Asinφ=0

联立求得φ=45°,

所以

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