二阶电路的初始储能为零,仅由外施加激励源引起的响应称为二阶电路的零状态响应。在如图4-33所示电路中,开关S原来是断开的,且电路已处于稳定状态,电容和电感均无初始储能,即uC(0-)=0,iL(0-)=0。那么该电路中的电容电压uC(t)、回路电流i(t)和电感电压uL(t)在t≥0后随时间的变化规律就是电路在直流激励下的零状态响应。
图4-33 零状态的RLC串联电路
在图4-33所示RLC串联电路中,以电容电压uC(t)为待求对象,应用KVL及元件伏安关系,可得在t≥0时,uC(t)满足的微分方程为
令该电容电压的特解即稳态解为u′C=K,代入式(4-96),解得u′C=US
电容电压的暂态解u″C为方程(4-96)对应的齐次方程的通解,即有
所以,方程(4-96)的解为
其中,A1、A2为积分常数,由初始条件决定,其初始条件为
根据上节的讨论,电容电压的暂态解u″C的变化规律根据特征根的不同有三种不同形式,因而与特解u′C合在一起构成的零状态响应也有如下三种情况:
(1),特征根p1、p2是两个不相等的负实根,为非振荡充电过程,电容电压为
(2) ,特征根p1、p2是两个相等的负实根,为临界非振荡充电过程,电容电压为
(3),特征根p1、p2是两个不相等的且有负实部的共轭复根,为振荡充电过程,电容电压为
uC(t)=u′C+u″C=US+e-αt(B1cosωt+B2sinωt)=US+Ae-αtsin(ωt+β)
其中的常数由初始条件式(4-98)、式(4-99)决定。
如果电容或电感的初始储能不为零,那么电路的响应就由初始的储能和外加的激励共同决定,这就是电路的全响应,二阶电路的全响应,既可以应用叠加定理求得,也可以通过直接求解二阶微分方程得到。前者由零输入响应和零状态响应之和求得;后者按上一节零状态响应的求解思路一样直接求解微分方程,只不过此时的初始条件不为零。
例4-21 图4-34所示电路,t=0时开关S闭合,求零状态响应uo(t)。
图4-34 例4-21
解 首先建立t>0时关于待求量uo(t)的微分方程。对节点①、②列KCL方程为
联立求解得
初始条件为
该方程的特征方程为p2+3p+2=0。
得特征根为p1=-1,p2=-2。故得暂态解为
A1e-t+A2e-2t
当t→∞时,电路达到稳定状态,故有uo(∞)=u2(∞)=5V,此即为电路的稳态解。故得零状态解为
uo(t)=5+A1e-t+A2e-2t
应用初始条件有
解得A1=-10,A2=5。
故得
uo(t)=(5-10e-t+5e-2t)V
例4-22 图4-35所示电路,t<0时开关S打开,且iL(0-)=5A,uC(0-)=2V,令在t=0时刻闭合S,求t>0时的uC(t)。
图4-35 例4-22
解 以电容电压uC(t)为待求量,列写微分方程
上述4个方程联立求解,得t>0时电路的微分方程为
特征方程为
解得特征根为
p1=-0.61, p2=-0.82
故方程的自由解为
u′C=A1e-0.61t+A2e-0.82t
t>0时电路达到稳定状态时有
所以,电路的全响应为
由初始条件
联立求得(www.daowen.com)
A1=8.54, A2=-9.4
故得
图4-36 例4-23
例4-23 图4-36所示电路中,已知R1=3Ω,R2=1Ω,L=1H,C=1F,开关S原在位置1,电路处于稳态。t=0时开关S由1点转接到2点,试求t≥0时的电流iL。
解 换路前,电路已处于稳态,可求得
iL(0-)=1A, uC(0-)=1V
根据换路定则有
iL(0+)=iL(0-)=1A,
uC(0+)=uC(0-)=1V
根据换路后的电路,依据KVL有
依据KCL有
可得
代入参数得
特征方程为
p2+4p+4=0
求得特征根为
p1=p2=-2
由于特征根为两个相等的负实根,所以,对应齐次方程的通解为
uh=(A1+A2t)e-2t
稳态时的响应为
所以,微分方程的全解为
uC(t)=up+uh=(A1+A2t)e-2t
由初始条件
求得待定系数
所以,方程的解为
t≥0时的电流iL为
例4-24 图4-37所示电路中,US=50V,R=50Ω,L=0.5H,C=100μF,已知:iL(0-)=2A,uC(0-)=0,求iL,iR。
解 以电感电流iL为未知量,应用节点分析法列方程,得
图4-37 例4-24
将已知参数代入上式中,得
特征方程为
p2+200p+20000=0
特征根为
p=-100±j100
所以方程的全解为
iL(t)=1+Ae-100tsin(100t+φ)
根据初始条件,可得
iL(0-)=1+Asinφ=2
即
100Acosφ-100Asinφ=0
联立求得φ=45°,。
所以
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