图4-27（a）所示的电路中，开关S闭合前电路已充电，其电压为uC（0-）=U0，电感中的初始电流为iL（0-）=I0。当t=0时，开关S闭合，此时电容就通过电阻和电感开始放电，此电路的放电过程即是二阶电路的零输入响应。在指定的电压参考极性和电流参考方向下，根据KVL可得

-uC+uR+uL=0

已知，，，将其输入上式，得

图4-27　RLC串联电路的零输入响应

式（4-60）是以电容上的电压uC为未知量的RLC串联电路放电过程的微分方程，为线性常系数的二阶齐次微分方程。这也是将RLC电路称为二阶电路的理由。对二阶电路的分析就是要求解式（4-60），要解这样的二阶微分方程需要有两个初始条件：uC（0+）和。根据换路定则可得

由图4-27（a）电路中所规定的参考方向，得电感电流，即

对一阶电路分析已知，自然响应函数总是一个指数形式函数，所以，可令

式中，A为特定常数，p为特征根。将式（4-63）代入式（4-60）中，并整理得

要使式（4-64）成立，因uC=Aept是所求方程的解，不可能为零，所以，只有括号内的表达式才可能为零，即有

式（4-65）为微分方程式（4-60）的特征方程（Characteristic Equation），特征方程的根决定了uC的性质。特征方程的根为

特征根（Characteristic Root）即电路的固有频率（Natural Frequency），它将确定零输入响应的形式。由于R、L、C数值不同，固有频率p1，p2可以出现三种不同情况：

（1）当时，p1，p2为不相等的负实数；

（2）当时，p1，p2为相等的负实数；

（3）当时，p1，p2为共轭复数，其实部为负数；

现分别进行讨论如下

1.，即 ，过阻尼衰减（Overdamped Case）

这种情况下特征根为两个不相等的负实数p1，p2，由于有两个值，表示uC有两个可能的解，每一个解的形式仍可用式（4-63）的假设解，即

因为式（4-60）是线性方程，上述u′C，u″C的任意组合都可以是式（4-60）的解，式（4-60）的完整解应该是u′C，u″C的线性组合。因此，串联RLC电路的零输入响应（自然响应）为

式中常数A1和A2可由初始条件式（4-61a）和式（4-61b）来确定。将初始条件代入式（4-69），得

A1+A2=uC（0+）=U0

对于U0≠0，I0=0的简单情况，即已充电的电容通过R、L放电的情况，此时，常数A1和A2分别为

则，电容电压为

电容电流和电感电流为

电感电压为

不论是uC（t）还是iL（t）都是由随时间衰减的指数函数项来表示的。这表明电路的响应是非振荡性的。由式（4-70）可以看出电容电压由两项衰减的指数函数组成。由于，又由于p1＞p2，故有，电容电压uC（t）的第二项比第一项衰减得快些。由式（4-70）可画出电容电压的波形如图4-27（b）所示。从图中可以看出，电容电压从U0开始单调地衰减到零，电容一直处于放电状态。所以这种情况称为过阻尼（Overdamped）衰减过程，也称为非振荡放电过程。

由式（4-71）和式（4-72）可画出电容电压、电感电流和回路电流随时间的变化曲线，如图4-27（c）所示。根据图，不难得到：

（1）当t=0时，回路电流为零，此时电容电压最高，根据KVL可知，电感电压也最高；随着时间的增加，回路电流逐渐增大，电阻上的电压增加，电容电压和电感电压逐渐减小，在这个过程中，电容释放电场能量，电感吸收能量，它将部分电场能量转变成为磁场能量，电阻将部分电场能量消耗掉变成热能；

（2）当t=tm时，回路电流达到最大值，电阻电压达到最大值，而电容电压继续减小，电感电压过零点，此时电感不吸收能量也不发出能量；此时，电感电压uL=0，故有

解得

（3）当t＞tm时，电容电压继续减小，回路电流逐渐减小，电感电压变为负值，即改变了方向，在这个过程中，电容继续释放电场能量，电感开始释放磁场能量，电场能量和磁场能量都由电阻吸收消耗转变成为热能。当tm→∞时，这些能量全部被电阻消耗完时，有uC=0，uL=0，放电过程全部结束，电路进入稳定状态。所以，在tm到∞之间这一区间，电感电压必有一个极小值，其出现的时间满足

可得

比较式（4-73）和式（4-74）可知，电感电压出现极值的时刻正好是回路电流出现极值时刻的两倍。

同理分析，对于U0=0，I0≠0时以及U0≠0，I0≠0时的响应也都是非振荡性的。

2.，即 ，临界阻尼（Critically DmapedCase）

这种情况下，特征根为两个相等的负实根p1，p2，即

此时，式（4-69）成为

式中，A3=A1+A2，意指两个初始条件要用一个常数来满足，显然这是不可能的，所以，上式不应该是方程的解。这说明原假设解的指数形式对此种情况是不正确的。现在回到原微分方程式（4-60），当时，式（4-60）可改写为

或

令

则有

这是一个一阶微分方程，其解为，式中A2是常数，代入式（4-77）有

或

上式可改写成

对式（4-79）两边积分，得

eαtuC=A1+A2t

或

式中A1为另一个微分常数。所以，在此种情况下，电路的自然响应为一个负指数函数和一个负指数函数乘以一个线性项之和。式（4-80）中的常数A1、A2可由初始条件确定如下

联立式（4-81）和式（4-82）求解，得

代入式（4-80）中，于是可得电容电压为

由此可算得电感电流为

电感电压可由求得。

由式（4-83）和式（4-84）可以看到：电容电压是单调衰减函数，电路响应仍然是非振荡性的。但是，它正好介于振荡和非振荡之间称之为临界阻尼（Critically Damped）衰减过程，又称临界振荡（Critical Oscillation）放电过程。此时的电阻值 称为临界电阻（Critical Reactor）。其波形与图4-27相似。

3.，即，欠阻尼衰减（Underdamped Case）

这种情况下，特征根p1，p2为一对具有负实数的共轭复根，若令

则

式中，——无阻尼自然频率（Undamping Natural Frequency）；

——阻尼频率（Damping Natural Frequency）。

电路的自然响应函数为

用欧拉恒等式

得到

令A1+A2=B1，j（A1-A2）=B2，则式（4-89）改写为

常数B1、B2可由初始条件确定如下

联立式（4-91）和式（4-92）求解得

为了便于反映响应的特点，可以将式（4-90）改写成如下

其中

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图4-28　振荡性响应，uC（0+）=U0

式（4-94）说明uC（t）是衰减振荡，如图4-28所示。它的振幅Be-αt随时间作指数衰减。把α称为衰减系数，α越大，衰减越快；ω是衰减振荡的角频率，ω越大，振荡周期越小，振荡加快。图4-28中所示按指数规律衰减的细线称为包络线（Envelope）。显然，如果α增大，包络线就衰减得更快些，也就表明振荡的振幅衰减更快。因此，当电路中电阻较小，满足 时，电路的响应呈振荡性的衰减，称为欠阻尼（Underdamped）衰减过程。

根据电容电压，利用电容元件的伏安关系，即可求得电容的电流，该电流也即为电感的电流，再根据电感元件的伏安关系，可求得电感的电压。

例4-17　图4-29（a）所示电路中，C=1F，L=1H，R=3Ω；uC（0）=0，iL（0）=0；求t≥0时电容电压uC（t）和电感电流iL（t）。

图4-29　例4-17

解　电路的微分方程为

特征方程为

特征根为

电路微分方程的解为

由初始条件uC（0）=0，iL（0）=0，可得

即

联立上两式求解得

A1=0.447， A2=-0.447

故电容的电压为

又因流过电感的电流与流过电容的电流相同，故有

电容电压uC（t）和电感电流iL（t）的波形如图4-29（b）所示。可见为一个非振荡的衰减。从物理意义来看，初始时刻能量全部存储在电感中，电感电流随即对电容充电，因而电容电压上升，电感电流下降，磁场储能部分转变为电场能量，部分为电阻消耗。到电感电流下降为零时，电容储能达到最大，电容电压也为最大。以后电容放电，电流方向也改变，并且没有再被充电。这是因为电阻较大，损耗也大，在储能的转移过程中，电阻消耗能量较大，当磁场储能再度释放时已不能再供给电场存储。

图4-30　例4-18

例4-18　图4-30所示电路，t＜0时S闭合，电路已工作于稳态。今于t=0时刻打开S，求t≥0时的电容电压uC（t）。

解　t＜0时S闭合，电路已工作于稳态，电感相当于短路，电容相当于开路，因此有

uC（0-）=uR（0-）=4i（01）==4×1=4V

t=0时刻打开S，此时构成RLC串联电路，以uC（t）为待求量的微分方程为

代入元件值有

该方程的特征方程为

p2+4p+4=0

得特征根为：p1=p2=-2，为两个相等的实根，故微分方程的解可表示为

uC（t）=（A1+A2t）e-2t

其中，积分常数由初始条件确定。由于电容的电压不能跃变，所以，由换路定则，有

uC（0+）=uC（0-）=4V，即uC（0+）=A1=4V

i（0+）=iL（0+）=iL（0-）=i（0-）=1A

又

因此，有

可得A2=4。

所以，t≥0时的电容电压uC（t）为

uC（t）=（4+4t）e-2t

例4-19　图4-31所示电路中，t＜0时开关S连接在1点，且电路处于稳定状态，t=0时开关S由1点转接到2点，设US=5V，iL（0）=0L=1H，C=10mF，R=6.25Ω。求t＞0后电容的电压uC（t）。

图4-31　例4-19

解　根据KCL，以uC（t）为待求量，可得关于uC（t）的微分方程为

两边对t求导，且除以C得

该微分方程对应的特征方程为

特征方程的根为

为两个不相等的复根，因此，微分方程的解为

uC（t）=（A1cos6t+A2sin6t）e-8t

其中，积分常数A1由下述表达式求得

uC（0）=5V=A1

积分常数A2由下述表达式求得

所以有

-8A1+6A2=80

解得

A1=5， A2=20

所以，电容的电压为

uC（t）=（5cos6t+20sin6t）e-8t t≥0

例4-20　图4-32所示电路中，开关S原位于1，处于稳定状态。t=0时，开关S从端钮1接到端钮2；在t=1s又从端钮2接到端钮1。试求电压uC1。

图4-32　例4-20

解　因电路中出现两次换路，所以，要根据每次换路的时间段分别对相应的电路进行求解。

（1）t=0-时的电路如图4-33（b）所示。可以求得电路的初始状态为

uC1（0-）=10V， uC2（0-）=0， iL（0-）=0

根据换路定则，有

uC1（0+）=uC1（0-）=10V，

uC2（0+）=uC2（0-）=0，

iL（0+）=iL（0-）=0

（2）当0＜t＜1时，电路如图4-33（c）所示。开关S接到端钮2，电路等效为由uC1（0+）引起的RLC的零输入响应。根据KVL有

又

得电路方程

上述微分方程的特征方程为

p2+2p+1=0

特征根为

p1=p2=-1

初始条件为

解得零输入响应为

当t=1-时

（3）当t＞1时，电路如图4-33（d）所示，此为一阶动态电路。由于存在纯电容与电压源构成的回路，电容电压发生跳变，即t=1+时刻，根据电荷守恒，有）

解得

当t→∞时，uC1（∞）=10V。电路的时间常数τ=（C1+C2）R1=（1+1）×2=4s

根据三要素法得

因此，所求的电压为