在研究地磁场时，首先应建立地磁场及其长期变化分布模式。用球谐分析方法表示地球基本磁场及其长期变化的分布，通常称为地磁场的球谐模式；用若干个偶极子表示地磁场的分布，称为地磁场的偶极子模式。

一、地磁场的一级近似表示

作为对地球磁场的一般了解，将地球磁场看成一个均匀磁化球体或地心偶极子的磁场即可。实际测量结果也表明，地磁场与地心偶极子磁场近似。物理学中，偶极子磁场与均匀磁化球体磁场等同，因此可以通过分析均匀磁化球体磁场的解析式来了解地磁场的一般规律。如图10-5所示，设地球为一均匀磁化的球体，则球面任一点P的磁位为

式中，φ为磁维度；r为地球半径变量；M为地球磁场磁矩；μ0为真空磁导率。

图10-5　均匀磁化球体

由于磁场强度是磁位的负梯度，所以P的磁场强度为

以P为原点建立直角坐标系，取X轴向北，Y轴向东，Z轴指向地心，则T的3个分量分别为

其中，λ为P的经度。

若不考虑磁轴与地球自转轴的偏离问题，则P点的磁位与经度无关，因此T的各分量为

总磁场强度为

由式（10-14）可知，在磁赤道处，φ=0°，有

在两磁极处，φ=90°，有

可见赤道处地磁场强度只有两极处磁场强度的1/2。

研究表明，由上述近似公式计算的结果与实际观测值相比较，除个别地方有较大的差异外，其基本变化规律与实际相符。因此，用均匀磁化球体的磁场来描述地球磁场，是可以作为一级近似值的。

二、地磁场的球谐模式

球谐分析方法于1838年由高斯首先提出，该方法是表示全球范围地磁场的分布及其长期变化的一种数学分析方法。假设地球是均匀磁化球体、地球旋转轴与地磁轴重合，球体半径为R，N为地理北极，也表示地磁北极（北磁极下对应的是地磁偶极子的S极性）。若采用极坐标系，如图10-6所示，坐标原点为球心，球外任一点P的地心距为r，纬度为θ，经度为λ，则在地磁场源区之外空间域坐标系（r，θ，λ）中，磁位μ的拉普拉斯方程可以写成如下形式：

图10-6　地球极坐标系

对上式采用分离变量法，即令

可解得拉普拉斯方程的一般解，从而可分别获得其内源场和外源场的磁位球谐表达式。若设外源场磁位为零，则内源场的磁位球谐一般表达式为

式中，为施密特准归一化的勒让德（Legendre）函数：

其中，(www.daowen.com)

和为内源场磁位的球谐级数系数，它与球体的任一dτ体积元的磁荷量点dm0有关，dm0=ρdτ，ρ为体磁荷密度。若小体积元中心坐标为（r0，θ0，λ0），则有

根据位场转换理论，地磁场的各分量表达式为

其中，R为国际参考球坐标，即地球的平均半径6 371.2 km；、称为n阶m次高斯球谐系数，有

设N为阶次n的截止阶值，则系数的总个数S=N（N＋3）。

式（10-24）为地磁场的高斯球谐表达式，若已知球谐系数和某点物理坐标的经纬度，则可利用该式计算地球表面或外部任一点的地磁要素三分量，从而进一步求出其他地磁要素。

目前最常用的地磁球谐模型主要有两个：

（1）1968年，由国际地磁学与高空物理协会首次提出高斯球谐分析模式，并在1970年正式批准了这种模式，称为国际地磁参考场模式，记为IGRF。IGRF表示确定的地磁参考场，每5年改变一次高斯系数，即通过年变率的调整取得。

（2）英国地质调查局和美国地质调查局每隔5年推出的一个地磁模型WMM。

英国国防部、美国国防部等组织都将上述两个模型作为导航和姿态确定的参考系。

三、区域地磁场模式

为了表示某一地区的正常场，需要建立地区性地磁场模型。某些地区的磁测数据密度一般要比全球的大一些，足以更仔细地刻画地磁场的分布特征。

如前文所述，球谐分析是分析全球的地磁场和编绘全球地磁图的主要数学方法，但由于数据和计算能力的限制，它的分辨能力是有限的，不适宜于处理某一地区磁场或描述空间尺度较小的磁异常。

目前，在分析区域性地磁场模式时，常用泰勒级数展开式来计算地磁要素。对于任一地磁要素，有

式中，Ank为根据各测点的实际数据由最小二乘法计算得到的泰勒多项式模型系数；N为截段系数；λ0、φ0为展开点的经度和纬度；λ和φ为测量点的地理经度和纬度。

式中，Δφ=φ-φ0，Δλ=λ-λ0；φ0=36°，λ0=106°。

式（10-27）为三阶泰勒多项式的计算公式，可以分别计算磁偏角D、磁倾角I、地球磁场的水平分量H和地球磁场的垂直分量z。

表10-1给出了1980年中国正常磁场多项式数学模式参考数据。

表10-1　1980年中国正常磁场多项式数学模式参考数据

续表