齿面的啮合过程，就好像是两个曲率半径在随时变化着的圆柱体的接触过程，因此，可以赫兹公式为基础来建立σ_HO的计算公式。这里所以说为基础，是因为实际齿轮传动中齿面接触状况、工作条件等情况，与赫兹公式推导时的前提和假设是不同的，要复杂得多。

在以赫兹公式为基础建立接触应力基本值σ_HO的计算公式之前，必须首先明确下面4个问题。

1）在不同的啮合位置，齿面接触点处的曲率半径是各不相同的，由式（3-156）可以看出，曲率半径的不同，或者当量曲率半径ρ_red的不同，影响着赫兹应力的大小。

那么，在啮合过程中的哪一点的赫兹应力最大，可作为危险点来进行计算呢？

由图3-49可知，在有效啮合线长AE范围内，考虑到当量曲率的变化和载荷分配的综合影响，小齿轮的单对齿啮合区下界点B处的赫兹应力最大，节点p处次之；但对于小齿轮齿数z₁大于20的一般情况来说，p点的赫兹应力与B点的赫兹应力相比，其相差是甚微的。此外，我们还必须考虑到齿面间的相对滚动、滑动及由此造成的润滑状况对齿面承载能力的影响。并且，从计算上来说，节点处的当量曲率半径不随着重合度而变化，因此按节点p处计算赫兹应力比较方便。

综合考虑以上原因，国标中像大多数学派一样，选择节点作为危险点进行接触强度计算。

在小齿轮齿数z₁小于20、当量曲率的影响较为显著时，如需要更精度地计算接触强度，可以按小轮的单对齿啮合区下界点B作为危险点，以此处的当量曲率半径计算接触应力。

节点p处的曲率半径，由图3-49可知，

式中 d′₁、d₂′——小轮和大轮的节圆直径；

α′_t——端面上节圆处的啮合角。

当量曲率半径为

注意到，式（3-159）仅是对外啮合齿轮的情况，为把内啮合齿轮的情况也包括在内，可把（3_-159）式改写成下面统一的形式：

式中，“+”号用于外啮合传动，“-”号用于内啮合传动。

图3-49 轮齿的啮合过程

我们还应当注意到，式（3-160）是在直齿轮的情况下分析和推导出来的。对于斜齿轮来说，在p点两接触齿面的实际曲率半径，应是其法截面内的数值。图3-49所示情况是一个平行于齿轮轴心线的水平视图，如果由上向下俯视，则啮合线N₁N₂就是一个啮合平面，如图3-50所示。

该啮合平面上的斜粗实线，即是轮齿的接触线。此时的直线N₁N₂即是端截面与啮合平面的交线；直线N′₁N₂′即是斜齿轮的法向截面（垂直于接触线）与啮合平面的交线；p点为节点。

我们知道是端面内小齿轮在节点p处的曲率半径ρ₁，N₂p是端面内大齿轮在节点p处的曲率半径ρ₂（图3-49亦可看出）。N′₁p是法面内小齿轮在节点p处的实际曲率半径ρ′₁，是法面内大齿轮在节点p处的实际曲率半径ρ′₂。

图3-50 N₁N₂啮合平面

我们还知道，接触线与齿宽方向（即齿轮圆柱体的母线方向）的夹角为基圆螺旋角β_b，同时由于垂直于齿宽方向，垂直于轮齿接触线，因此，N₁N₂与N′₁N₂′的

夹角也等于β_b。

ρ′₁=ρ₁/cosβ_b （3-161）

ρ₂′=ρ₂/cosβ_b （3-162）

式（3-161）、式（3-162）两式说明，斜齿轮p点处的实际曲率半径，可由其端面内p点处的曲率半径来表示。

于是，斜齿轮在p点实际的当量曲率半径为

将式（3-163）代入式（3-160）可得出

可以看出，式（3-164）是适用于内、外啮合的直齿、斜齿轮的统一形式。

我们还可以看出，式（3-164）中的节圆直径d′₁、d₂′是一个需要计算的量，为了利用原始的几何参数，方便运算使用，可作如下代换：

且

d₂=d₁u （3-168）

则有

(www.daowen.com)

将式（3-165）、式（3-169）代入式（3-162）并整理，即可得出所需要的当量曲率的通用表达形式

式中 d₁——小齿轮分度圆直径（mm）；

u——齿数比；

β_b——基圆螺旋角；

α_t——端面压力角；

α′_t——端面啮合角。

式（3-170）中，“+”号用于外啮合传动，“-”号用于内啮合传动。

2）接触线长度L的确定 众所周知，在端面重合度ε_α和纵向重合度ε_β的影响下，由于同时有几对轮齿参与啮合，所以造成总的承载齿宽B（各对轮齿上承载齿宽的总和）大于齿轮的宽度b。两者之间在量值上的关系，可用一个函数式来表示：

式中 Z_ε——重合度系数，表示在端面重合度ε_α和纵向重合度ε_β的作用下，实际的总承载齿宽B和齿轮宽度b的比值。在式（3-171）中写成Z²_ε，是为了公式表达方便，将其可移至根号之外。

B——同时啮合的各对轮齿上承载齿宽的总和，当然，这里是一个概率平均值（实际上，在不同的啮合位置上，B是不断变化的）。

又由图3-50可知，轮齿的接触方向与齿宽方向的夹角为基圆螺旋角β_b。所以，总的接触线长度L，就可表示为

当然，这里的L同B一样，也是一个概率的平均值。

3）法向力的确定。在节点p处的受力状况，如图3-51所示。

图中，F′_t为端面内节圆周上的切向力，F′_bt为端面内基圆周上的切向力，F′_bn为法面内基圆周上的切向力，即作用在节点p处齿廓上的法向力。

图3-51 节点p处的受力状况（轮齿上的作用力）

α′_t为端面内节点处的压力角，β_b为基圆螺旋角。

由图3-51知

转矩

所以

由式（3-165）或式（3-166）可知，节圆直径d′与分度圆直径d有如下关系：

将此关系代入式（3-175），即可得

将式（3-177）代入式（3-173），得

由式（3-172）和式（3-178）就可以得出单位接触长度上的法向力为

4）接触线上载荷分布状况的影响 斜齿轮由于螺旋角的作用，轮齿上的接触线是由齿顶到齿根倾斜着的。试验和经验都证明，接触线的倾斜，对齿面的接触强度会带来有利的影响。也就是说，会使节点处的实际接触应力比用赫兹公式计算结果要小。

为了考虑这一影响，消除这一误差，我们要在赫兹应力公式中引入一个修正系数Z_β，称之为螺旋角系数。

在考虑和分析了以上四点之后，我们就可以在赫兹公式的基础上来建立接触应力基本值σ_HO的公式了。现将第4）点讨论的结论和式（3-170）及式（3-179）代入式（3-157），便可得

式中节点区域系数，仅与齿轮的几何参数有关，其包括节点曲率半径计算的因素和节圆处齿廓法向力计算的因素；弹性系数，仅与齿轮材料的特性（泊松比及弹性模量）有关。

于是，我们将式（3-180）改写成齿面接触应力基本值的计算公式