1.外力偶矩的计算

工程中，对作用于轴上的外力偶，其力偶矩通常需要根据轴的转速和轴所传递的功率来计算，即

式中，Me——外力偶矩，N·m；

　　　P——功率，kW；

　　　n——轴的转速，r/min。

2.扭矩和扭矩图

若已知轴上作用的外力偶矩，则可采用截面法分析其横截面上的内力。设一圆轴在两端受到一对等值、反向的外力偶Me作用产生扭转并保持平衡[图4-49（a）]。假想用截面m-m把轴切为两段，所取的任一段（如左段）也应保持平衡，由于左端有外力偶作用，在右端的截面m-m上必存在一个内力偶Mn与之平衡[图4-49（b）]，该内力偶Mn称为扭矩。由左段轴的平衡方程

求得

若将上述结果推广到一般情形，其结论是截面上的扭矩等于该截面一侧轴段上所有外力偶矩的代数和，即Mn=∑Me。

当取左、右两段来计算扭矩Mn时，其值相等，但方向相反[图4-49（c）]，为使这两种计算所得扭矩Mn的符号一致，规定扭矩Mn的正负号按右手螺旋法则确定：右手四指顺着扭矩的方向握住圆轴轴线，大拇指伸直时的指向与横截面的外法线方向一致时扭矩为正值（图4-50）；反之为负值。外力偶矩Me的符号确定与扭矩Mn相反，即大拇指指向与横截面的外法线方向一致为负值，反之为正值。

图4-49　扭矩

图4-50　扭矩的符号规定

当轴上有多个外力偶作用时，为了反映圆轴各横截面上的扭矩随截面位置变化的情况，通常以圆轴轴线方向的坐标x表示横截面的位置，垂直于圆轴轴线的坐标Mn表示对应截面上扭矩的大小。正值扭矩绘在x轴的上方，负值扭矩绘在x轴的下方。这种表示扭矩随横截面位置变化规律的图形称为扭矩图。在扭矩图上，除标明扭矩的大小和单位外，还应标明扭矩的正负号。

【例4-12】　图4-51（a）所示为一齿轮轴。已知轴的转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B和C的输出功率PB=20kW，PC=30kW（不计摩擦损失）。试画该齿轮轴的扭矩图。

若将主动轮A安置在轴的左端[图4-51（b）]，试比较两种安置方式哪一种合理。

图4-51　例4-16图

解：①计算外力偶矩Me。由式（4-20）得

主动力偶MeA的方向和轴的转动方向一致；从动力偶MeB、MeC的方向与主动力偶的方向相反。

②计算各段的扭矩。根据外力偶矩的作用位置，将轴分为AB、AC两段，分别取截面1-1和截面2-2[图4-51（c）和图4-51（d）]，则轴的任一截面上的扭矩应等于该截面一侧轴段上所有外力偶的代数和，即(www.daowen.com)

AB段内的扭矩

AC段内的扭矩

③画扭矩图。扭矩图如图4-51（e）所示，由扭矩图可知，该齿轮轴的危险截面在AC段，其最大扭矩为

④比较合理性。当主动轮A安置在轴的左端时，轴上最大扭矩在AB段，其大小为

该轴的扭矩图如图4-51（f）所示。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置不同，轴所受的最大扭矩也就不同，显然，两者相比前者较合理。

3.扭转时的切应力

试验结果和理论分析表明，圆轴扭转时，其横截面上只有切应力。切应力的分布规律是各点的切应力与横截面半径方向垂直，其大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处的切应力等于零，圆周上的切应力最大，如图4-52所示。图4-52（a）所示为实心轴截面，图4-52（b）所示为空心轴截面。

图4-52　切应力的分布规律

（a）实心轴截面；（b）空心轴截面

经理论推导可得出圆轴横截面上最大切应力的计算公式为

式中，τmax——横截面上最大切应力，MPa；

　　　Mn——横截面上的扭矩，N·m；

　　　R——圆轴半径，mm；

　　　IP——横截面的极惯性矩，是与横截面形状和尺寸有关的几何量，mm4。

为便于计算，令

式中，Wn——轴的抗扭截面系数，也是与横截面形状和尺寸有关的几何量，mm3。

当扭矩Mn不变时，Wn越大，τmax越小，所以抗扭截面系数Wn是反映横截面抵抗扭转破坏能力的一个几何量。常用截面的IP、Wn计算公式见表4-6。

表4-6　常用的截面IP、Wn计算公式