1.平面汇交力系中的应用实例

在平面汇交力系中，由于各力的作用线汇交于一点，若以汇交点为矩心O，则无论是否平衡，式（3-15）中∑MO（F）=0，所以平面汇交力系的平衡方程为

即力系中各力在其作用面内任选的x、y坐标轴上投影的代数和分别等于零。由式（3-18）可解两个未知量。

【例3-6】　起重机吊起一减速器箱盖，如图3-41（a）所示，箱盖重W=200N，已知钢丝绳与铅垂线的夹角α=60°，β=30°，求钢丝绳AB和AC的拉力。

解：①取分离体，画受力图。以减速器箱盖为分析对象，取其为分离体，画出各力，即作用于箱盖的重力W和两钢丝绳拉力TB、TC方向均确定，画受力图，如图3-41（b）所示。

图3-41　例3-6图

②选取投影轴，列平衡方程。以三力汇交点A为坐标原点，取图3-41（b）所示x、y轴，则有③讨论。以A点为坐标原点，若取TB方向为x轴、TC方向为y轴，如图3-41（c）所示，则有

由此可见，直角坐标系的方位可任意选取，而恰当地选取坐标系的方位能使计算简化。

2.平面力偶系中的应用实例

在平面力偶系中，因力偶在任一轴上的投影恒等于零，则无论是否平衡，式（3-15）中∑Fx=0，∑Fy=0，且因力偶对其作用平面内任一点的矩恒等于力偶矩，则有∑MO（F）=∑Mi。所以，平面力偶系的平衡方程为

即力偶系中各力偶矩的代数和等于零。式（3-19）只能解一个未知量。

【例3-7】　电动机轴通过联轴器与工作机轴连接，联轴器由两个法兰盘和连接二者的螺栓所组成，如图3-42所示。四个相同的螺栓A、B、C、D均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d=AC=BD=150mm。电动机通过联轴器传递力偶，其力偶矩M=2.5kN·m。试求每个螺栓所受的力。

解：取半联轴器为分析对象。其上作用有主动力偶M，以及四个螺栓的约束反力，其方向如图3-42所示。设每个螺栓所受力的大小为F，则F=F1=F2=F3=F4，而F1和F3、F2和F4组成两个约束反力偶，其力偶矩均为Fd。

由平面力偶系的平衡条件，有

图3-42　例3-7图

由此解得每个螺栓所受的力为

由以上计算可知，螺栓所分布的圆周直径d越大，螺栓所受的力越小，因此对螺栓越有利。

3.平面平行力系中的应用实例

在平面平行力系中，各力作用线在同一平面内且相互平行，若选x轴与力作用线垂直、y轴与之平行，则无论是否平衡，式（3-15）中∑Fx=0，所以平面平行力系的平衡方程为

即力系中各力在与力作用线平行的y轴上投影的代数和等于零，各力对其作用面内任一点之矩的代数和也等于零。由式（3-20）可解两个未知量。

【例3-8】　某锅炉安全装置如图3-43（a）所示，蒸汽压力p=400kN/m2，气阀直径d=600mm，气阀重W1=50kN，OA=120mm；杆OC长l=800mm，其重量W2=100kN；重锤重W3=200N。若使气阀刚好不漏气，则重锤到点O的距离应该是多少？

图3-43　例3-8图

解：①以杆OC为分析对象，取分离体，画受力图，如图3-43（b）所示。因外力作用后杆无水平移动趋势，故点O处固定铰链支座的水平方向约束反力为零，所以杆所受各力形成平面平行力系。

②蒸汽对气阀的压力P为

③设重锤到点O的距离为x，列出平面平行力系的平衡方程为

4.一般平面力系中的应用实例

一般平面力系是力作用线任意分布的平面力系，也就是工程实际中经常遇到的一般受力状况的平面力系，其平衡方程即为式（3-15）、式（3-17）所列。

【例3-9】　图3-44（a）所示为简易起重机简图。已知横梁AB的自重W1=4kN，提升重量W2=20kN，斜拉杆BC的倾角α=30°（不计自重），梁长l=2m。试求当电动葫芦离A端距离a=1.5m时，拉杆BC的拉力和A端固定铰链支座的约束反力。

图3-44　例3-9图(www.daowen.com)

解：①以横梁AB为分析对象，取分离体，画出各力，即作用在横梁上的主动力：点处自重W1、提升重量W2；作用在横梁上的约束反力：拉杆BC的拉力FT（假设），铰链A点的约束反力FAx、FAy（指向假设）。画受力图如图3-44（b）所示。

②建立直角坐标系，如图3-44（b）所示，并列出平衡方程：

③联立平衡方程求解。

由式（a）得

将FT代入式（b），得

将FT代入式（c），得

FT、FAx、FAy都为正值，表示力的实际方向与假设方向相同。

④讨论。

本题若写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的投影方程（AB两点连线不垂直于x轴），则同样可求解。即由

若写出对A、B、C三点的力矩方程（A、B、C三点不共线），即

求解各方程，则也可得出同样结果。

在某些情况下应用二力矩式或三力矩式求解，可方便运算，但必须满足其限制条件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的。

由上面例题可知，应用平面力系平衡方程求解的一般步骤如下。

①取分离体，画受力图。

根据题目的已知条件和待求量，选择合适的分析对象，画出全部主动力和约束反力。

②选取投影轴和矩心，列平衡方程。

为了简化计算，尽量使力系中多数未知力的作用线平行或垂直于投影轴，尽量取未知力的交点为矩心，使所列平衡方程含一个未知数，尽可能避免联立解方程。

③解平衡方程，说明结果的正负号。将已知量代入方程求出未知量。若所得结果为正值，说明所求力的实际方向与假设方向相同；若所得结果为负值，说明所求力的实际方向与假设方向相反。对计算结果只作说明，而不要修改受力图中力的方向。

5.轮轴类部件空间力系的平面解法

轮轴类部件是指轮子、轴、轴承构成的部件，其上作用的力通常构成空间一般力系。为便于求解，常将空间一般力系投影到坐标面上，从而简化成三个平面力系，即把空间问题转化为平面的问题来处理。这就是空间力系的平面解法，被广泛地用来解决轮轴类部件的平衡问题。

【例3-10】　传动轴如图3-45（a）和图3-45（b）所示，其上齿轮1和齿轮2的节圆直径分别为d1=100mm和d2=200mm；作用在齿轮1上的合力F1=5321N；两轮的压力角α=20°。试求轴承A、B的约束力。

解：取传动轴为研究对象，其上有齿轮的作用力F1、F2和轴承A、B的约束力FAx、FAz、FBx、FBz，如图3-45（a）和图3-45（b）所示，属于空间一般力系。由齿轮1上作用的合力F1和压力角，可求得圆周力Ft1和径向力Fr1两分力，即

将力系向三个坐标平面投影，并画出传动轴在三个坐标平面上受力的投影图，如图3-45（b）~图3-45（d）所示，其中xz平面力系为平面一般力系，yz与xy平面力系则为平面平行力系，可分别列方程求解。

①xz平面[图3-45（b）]。

②yz平面[图3-45（c）]。

图3-45　例3-10图

③xy平面[图3-45（d）]。

计算结果中负号表示力的实际方向与图示假设方向相反。