五轴加工中，可采用刀轴前倾角γl与侧倾角αt的组合来定义刀轴姿态，如图5.1所示，刀具轴线围绕进给坐标系的C轴旋转形成刀轴前倾角，刀具轴线围绕进给坐标系的F轴旋转形成刀轴侧倾角[157]。图5.1中F、C、N分别代表刀具进给方向、交叉轴方向与工件表面法线方向，Zt代表刀具坐标系下的轴线方向。为便于区别不同的坐标系，工件坐标系用Ow-XwYwZw表示，进给坐标系（局部坐标系）用OF-FCN表示，刀具坐标系用Ot-XtYtZt表示，该坐标系可视为进给坐标系OF-FCN的旋转形式。

根据两个坐标系之间的关系，刀具坐标系到进给坐标系的转换矩阵如式（5.1）所示[155]。

实际加工过程中，刀具进给方向fF不会始终与工件坐标系的Xw方向相同[72]，因此，将刀具进给方向fF在工件坐标系中的表达式定义为则进给坐标系与工件坐标系之间的转换矩阵可用式（5.2）表示[72]。

式中，

图5.1　五轴侧铣刀具前倾角γl与侧倾角αt

本书采用的五轴机床为DMU 80 monoBlock五轴加工机床，该机床的运动轴包含三个移动轴：X轴、Y轴与Z轴；两个旋转轴：B轴、C轴，如图5.2所示。根据机床的结构特点，采用文献［156］的方法，模态坐标系与进给坐标系之间的转换矩阵如式（5.3）所示。

图5.2　德玛吉（DMU 80 monoBlock）五轴加工机床结构示意图

式中，TTa-to-W为从工作台坐标系到工件坐标系的转移矩阵，由工件在工作台上的安装位置决定。为便于研究，假设工件坐标系与工作台坐标系一致，其他矩阵如下：

(www.daowen.com)

根据上述公式，可得到转移矩阵TM-to-F 与其逆矩阵（TM-to-F）-1的表达式，见附录A。从刀具坐标系到模态坐标系的变换矩阵如下：

第3章3.3.1节已推导出刀具坐标系下x、y方向受到的动态切削力（立铣刀，不考虑螺旋角影响），在五轴侧铣过程中，随着刀具/工件接触区域的不同，沿着刀具轴线方向，刀具不同部位的切入角与切出角有所不同。因此，计算五轴铣削的切削力时，将刀具沿轴线方向均匀划分为l份微分单元，分别计算各微分单元的切入角与切出角，进而得到各微分单元的切削力，通过对微分单元的切削力进行求和，可计算出刀具坐标系下总的切削力，如式（5.5）所示：

式中，下标“T”代表刀具坐标系；h1，xx、h1，xy、h1，yx、h1，yy如下：

通过以下转换，可以将刀具坐标系下的切削力转化到模态坐标系：

为便于后续公式的推导，将从刀具坐标系到模态坐标系的变换矩阵TT-to-M 及其逆矩阵定义为以下形式：

式中，参数a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33、b11、b12、b13、b21、b22、b23、b31、b32、b33如附录B所示。

因为刀具z轴方向刚度较大，所以在建立五轴侧铣动力学方程时，忽略z轴方向的振动。最终，得到包含再生效应与刀具结构模态耦合的五轴侧铣动力学方程，如式（5.8）所示。

式中，下标“M”代表模态坐标系；h1，xx、h1，xy、h1，yx、h1，yy为与切削力有关的参数项；a11、a12、a21、a22、b11、b12、b21、b22为与主轴系统、工作台旋转角度、刀轴前倾角与侧倾角有关的参数项。