以整个正交并联六维力传感器为研究对象,当测力平台受到外力Fw作用时,用广义坐标q=[q1 q2]T=[qx qy qz qmx qmy qmz]T来描述其空间运动,其中q1=[qx qy qz]定义测力平台关于三坐标轴的移动,q2=[qmx qmy qmz]定义测力平台关于三坐标轴的转动。正交并联六维力传感器的振动模型可以看成由6个空间单自由度二阶机械振动系统和1个质量块M组成,整个系统的基准坐标系Oxyz选择同图2-3。

参考图5-1,首先建立广义坐标q(t)与测量分支线位移l(t)的关系,基于螺旋理论,则

式中　Si——第i个测量分支轴线在基准坐标系Oxyz中的方向矢量;

ri——第i个测量分支轴线上一点在基准坐标系Oxyz中的位置矢量。

将所有分支方程按顺序整理为矩阵形式,得

假设GT不随时间变化,式(5-4)等号两边同时对时间t求一阶导数与二阶导数,得

将式(5-4)、式(5-5)、式(5-6)代入式(5-2)中,得

再以测力平台为研究对象,不考虑其变形,根据牛顿第二定律,其运动方程为

式中　[M0]——测力平台的质量矩阵,[M0]=diag[M0,M0,M0,Iox,Ioy,Ioz]。

将式(5-7)代入式(5-8),替换掉f,进而得出

整理式(5-9)中的同类项,可得

加入时间变量t,即(www.daowen.com)

式中　[M]——六维力传感器的总质量矩阵,[M]=[M0]+G[m]GT;

[C]——六维力传感器的总阻尼矩阵,[C]=G[c]GT;

[K]——六维力传感器的总刚度矩阵,[K]=G[k]GT。

式(5-11)称作正交并联六维力传感器的整体运动微分方程,该方程表达了测力平台广义坐标q(t)与所受六维外力Fw(t)之间的关系。

实际情况中,阻尼数值往往不大,为了便于理论计算,通常不考虑阻尼项。在式(5-11)的基础上,进一步求系统的固有频率,略去阻尼项,不考虑外部激励,得到六维力传感器的无阻尼自由振动的运动微分方程:

其解的表达形式设为

式中　A(t)——振幅向量,m;

ω——简谐振动频率,Hz;

φ——相位角,为任意常数,rad。

将式(5-13)代入式(5-11)得

即

式(5-15)是一个关于解为“A(t)cos(ωt+φ)”的6元线性齐次代数方程组,该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零,即

解式(5-16)便可求出传感器系统的前6阶固有频率ω1,ω2,…,ω6,进而再求出各阶的振幅向量。