当六维力传感器受到空间变化的六维力时,其测量分支输出电压也会相应产生变化。传感器的标定就是通过对测力平台加载空间外力和外力矩,得到相对应的测量分支输出电压,对数据进行处理后得到加载的空间六维外力和测量分支输出电压之间的映射关系矩阵,称为传感器的标定矩阵。

根据式(2-5),加载的标定力/力矩与分支输出电压之间的映射关系方程式可以写作

式中　Fs——空间六维标定力;

Gc——标定力与测量分支输出电压之间的映射矩阵;

U——测量分支输出电压。

若六维力传感器是一个理想的线性系统,那么仅需要对其施加六个线性无关的六维标定力,即可根据测量分支的输出电压求得标定矩阵。但实际情况中,传感器的输入与输出通常并不是理想的线性关系,因此需要在传感器测量范围内进行多点加载获得多组数据,并对数据进行最小二乘拟合,最终确定输入量与输出量之间的映射关系,得到标定矩阵。

在六维力传感器各方向的测量范围内均分为m个加载点,按一定顺序依次加载,然后再倒序依次卸载。标定力组成的矩阵Fs为

式中,Fsx、Fsy、Fsz、Msx、Msy、Msz为在其对应方向上标定力的矩阵,其阶数均为6×2m,分别为

因此,标定力矩阵Fs为6×12m阶矩阵。

按上述共对六维力传感器施加标定力12m次后,得到对应的测量分支输出电压的矩阵为U,当测量分支数为n时,输出电压矩阵U为n×12m阶。根据式(4-1),在其两边同时乘以测量分支输出电压矩阵U的伪逆矩阵,可得

式中,U+为U的伪逆矩阵,有U+=UT (U UT )-1;Gc即为标定矩阵。(www.daowen.com)

理想中的六维力传感器是一个线性系统,但在实际的测量当中,输入六维力与输出分支电压值之间的比例关系并不完全确定。最小二乘静态标定算法就是在多次加载后,对电压数据进行线性拟合得到的输入量与输出量比例关系矩阵,即标定矩阵。故根据标定矩阵计算得出的六维力在数值上与标定力之间会存在着一定偏差,这些偏差的大小即反映出了该传感器的实际测量精度。将式(4-3)代入式(4-1)可得到标定力的测量值为

式中,Fc=[Fcx,Fcy,Fcz,Mcx,Mcy,Mcz ],其中每一项均为6×2m维矩阵。

将标定力的实际值和计算值做差并取其绝对值,得

根据式(4-5)计算所出的偏差即为传感器正常工作时在各测量方向上的综合非线性偏差。把式(4-5)各项的偏差平均值与对应测量方向上的满载标定力或标定力矩的比值定义成传感器在实际测量中的线性度,例如x方向力线性度向量的计算公式为

式中　ΔLFxi (i=1,2,…,6)——矩阵ΔLFx的第i行元素;

ave(·)——向量(·)中所有元素的平均值。

式(4-6)中,向量ELFx第一项反映了加载x方向标定力时x测量方向的线性度,另外五项反映了施加x方向标定力时,其余5维与其的耦合线性度。

同理可计算出施加另外5维标定力或标定力矩时其标定主方向的线性度及与其他维耦合的线性度向量,将各维线性度向量依次组合成矩阵的形式即可获得传感器的实际测量中的线性度矩阵为

EL为6阶矩阵,其对角线上的各项为Ⅰ类误差,它反映了各测量主方向上的线性度;而非对角线上的各项为Ⅱ类误差,它反映了不同测量方向之间的耦合线性度。

线性度矩阵较客观全面地反映了标定实验中加载各方向的标定力/力矩的在实际测量当中产生的误差。