在传感器机构的设计过程中,明确空间外力引起的分支轴向力变化规律,以及六维力分支轴向力映射的关系,求解外力作用下的分支轴向力,对传感器测力性能的评价及结构优化有重要意义,并且为传感器的静态标定及测量过程中的数据处理提供理论依据。

当空间六维力作用在传感器测力平台上时,其各维分量大小和方向的变化均会引起测量分支轴向受力的变化。以f作为未知数,则式(2-5)即可看作是一个含有6个方程n个未知数的方程组。当传感器结构为静定结构,即测量分支数为6时,根据线性代数相关理论此时有G-1=G+,则在式(2-5)两边同时乘以G+,得

式中　G+——测力平台受到空间六维外力向测量分支的映射关系。

当测量分支数大于6时,G的行数将大于列数,即列数大于6,G不再是方阵,故G不存在逆矩阵,只能应用伪逆矩阵G+来对超静定结构传感器的结构静力学进行分析。此时对方程求解有

式中　I——n×n维单位矩阵;

y——n维任意列向量,y=(y1 y2…yn )T。(www.daowen.com)

由式(2-9)求解得到的分支轴向力包含两个部分,分别由静力平衡方程组的特解和通解组成,将它们分别表示为

其中,方程的特解fR为测量分支在六维力作用下所产生的反力;通解fP为初始内力。令I-G+G=Ω,可知Ω为包含结构参数的常数矩阵。由式(2-8)、式(2-10)可得出结论:在并联结构传感器结构参数一定的情况下,分支反作用力fR受六维外力Fw影响,初始力fP仅与Ω有关(即仅与结构参数有关)而与Fw无关。六维力所构成的抽象六维空间与分支轴向力所构成之间的映射关系可通过图2-1的空间线性映射关系图来表达。

如图2-2所示,矩阵G表示由抽象n维空间向抽象六维空间的映射关系,Fw为值域空间(即传感器受到的空间六维力的集合),fP为零空间。抽象n维空间包含了fR和fP两个子空间,其中fP为零空间,它不对应到任何六维力,零空间fP所包含的测量分支轴向力仅仅由结构本身来决定。而空间y为虚拟映射空间,y中每一对应向量都有唯一的fP与之构成映射关系。

当传感器处于非奇异结构时,六维力可以完全由测量分支作用反映射得到。因此,静定及超静定结构下的并联六维力传感器在进行测量工作的过程当中六维力与分支作用反力之间的映射关系均由G+决定,则根据伪逆矩阵G+即可由分支输出受力变化的信号值得到唯一的空间六维力值。

图2-2　六维力与分支轴向力之间的线性映射关系