仔细观察已知离散型随机变量的分布律求它的分布函数F（x）=P（X≤x）时，只是把满足（X≤x）取值的所有概率值相加，那么如果在连续型随机变量的分布函数已知时，也可以看成把满足（X≤x）取值的所有概率值（只是趋于0）相加，而这正好契合了微积分中的积分的概念.例如在例7.2中，随机变量X的分布函数为

记

这是一个类似离散型随机变量分布律的函数，F（x）可表示为f（x）的在区间（-∞，x）上的积分，即

归纳就有下列定义.

定义7.4　如果随机变量X的分布函数F（x）总存在非负可积函数f（x），使得对任意的实数x，有

成立，则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称密度函数.

连续型随机变量的密度函数f（x）有下以性质：

性质7.1　f（x）≥0.

性质7.2　

性质7.3　对任意a，b∈R，有

由以上的性质可知：概率密度函数曲线总位于x轴上方；介于它和x轴之间的面积等于1，如图7-3；随机变量落在区间（a，b]的概率P{a＜X≤b}等于区间（a，b]上曲线y=f（x）与x轴所围成的曲边梯形的面积，如图7-4.

图7-3

图7-4

性质7.4　对任意的实数a，P{X=a}=0.

证　对任意Δx＞0，有

令Δx→0，由夹逼定理可得P{X=a}=0.(www.daowen.com)

此性质表明：不可能事件的概率必为0，但概率等于零的事件可以不是不可能事件；同样地，必然事件的概率必为1，但概率等于1的事件可以不是必然事件.

性质7.5　F′（x）=f（x）.

此性质给出了连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系：分布函数的导数是概率密度函数，反之，概率密度函数的积分函数是分布函数，如式（7.9）.

[例7.7]　设随机变量X的密度函数为

其中a＞0，试求：（1）常数a；（2）P{-1＜X≤2.5}；（3）X的分布函数F（x）.

解　（1）由密度函数的性质有

计算得

综合得X的分布函数F（x）为

[例7.8]　设连续型随机变量X的分布函数为

试求（1）常数A和B；（2）P{X≤2}；（3）X的概率密度函数.

解　由连续型随机变量分布函数性质得

即

解得

(2)P{X≤2}=F(2)=1-e-2.