我们知道，二元二次函数f（x，y）=x2+y2在x=0，y=0处取得最小值f（0，0）=0.此例子表明，二元二次函数f（x，y）=x2+y2的最小值问题与二元二次型x2+y2的性质有密切的关系.事实上，n元函数的极值问题也与n元二次型的性质有着密切的关系.在这一节中，我们就来研究这种关系.

定义5.6　给定实二次型f=XTAX，对任意的X=（x1，x2，…，xn）T≠0，如果

（1）f=XTAX＞0，称二次型为正定二次型，其矩阵A为正定矩阵.

（2）f=XTAX＜0，称二次型为负定二次型，其矩阵A为负定矩阵.

显然f（0）=0.如果二次型f为正（或负）定二次型，则二次型f的最小（或大）值为0.

如果A为负定矩阵，则-A必为正定矩阵，因此我们只需讨论正定矩阵.

对于二次型f（x，y，z）=x2+4y2+16z2，不难发现对任意的（x，y，z）T≠0，有

f(x,y,z)=x2+4y2+16z2＞0,

所以f（x，y，z）=x2+4y2+16z2为正定二次型.

由上面的例子很容易看到，利用二次型的标准形或规范形很容易判断其是否为正定二次型.由本章第2、3节知识，已能将任意二次型经过可逆的线性变换化为标准形或规范形，因此，得到下述定理.

定理5.5　若n元实二次型f=XTAX由可逆线性变换X=CY化为标准形

则二次型为正定二次型的充分必要条件是di＞0，i=1，2，…，n.

证　先证充分性.若di＞0（i=1，2，…，n），任给X≠0，必有Y≠0，则

即二次型f=XTAX为正定二次型.

再证必要性.设二次型f=XTAX为正定二次型，下面用反证法证明所有的di均大于零.假设d1，d2，…，dn不全大于零，不妨设存在某个正整数j，有dj≤0.取

y1=0，…，yj-1=0，yj=1，yj+1=0，…，yn=0，即Y≠0.

有，这与二次型f=XTAX为正定二次型矛盾，所以d1，d2，…，dn均大于零.

推论1　n元实二次型f=XTAX为正定二次型的充分必要条件是其正惯性指数为n.

推论2　实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值均大于零.

[例5.6]　设A为正定矩阵，证明＞1.

证　因A为正定矩阵，故A的特征值λ1，λ2，…，λn全大于零，从而A+E的特征值分别为λ1+1，λ2+1，…，λn+1，且λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，所以

推论3　n元实二次型f=XTAX为正定二次型的充分必要条件是其规范形为(www.daowen.com)

推论4　n元实二次型f=XTAX为正定二次型的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵C，使得A=CTC，即A与单位矩阵合同.

由于计算二次型矩阵A的特征值和化二次型为标准形比较麻烦，下面介绍一个由给定的二次型直接去判断它为正定二次型的充分必要条件.先介绍如下概念.

定义5.7　设A为n阶矩阵，取其第1，2，…，k行和第1，2，…，k列所构成的k（k≤n）阶行列式，称为A的k阶顺序主子式，记为Δk.

定理5.6（霍尔维茨（Sylvester）定理）

（1）n元实二次型f=XTAX为正定二次型的充分必要条件是A的各阶顺序主子式全大于零，即

（2）n元实二次型f=XTAX为负定二次型的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零，即

定理证明略.

[例5.7]　判定二次型f（x，y，z）=5x2+y2+5z2+4xy-8xz-4yz是否正定.

解　二次型的矩阵

A的各阶顺序主子式为

所以二次型是正定二次型.

[例5.8]　问λ取何值时，二次型是正定的？

解　二次型的矩阵

因二次型f是正定的，有

解得

[例5.9]　设A，B为同阶正定矩阵，证明A+B也为正定矩阵.

证　因为（A+B）T=AT+BT=A+B，所以A+B为对称矩阵.对于任意的X≠0，有

XT(A+B)X=XTAX+XTBX,

因为A，B为正定矩阵，有XTAX＞0，XTBX＞0，可得XT（A+B）X＞0，即A+B为正定矩阵.