由定理4.11知，对于任一n阶实对称矩阵A，存在正交矩阵U，使得

U-1AU=UTAU=Λ.

因此，对于二次型f（x1，x2，…，xn）=XTAX，易得如下定理.

定理5.2　对于任意n元二次型f=XTAX，必存在正交变换X=UY，使得

其中λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Λ=diag（λ1，λ2，…，λn）为对角矩阵，U的n个列向量η1，η2，…，ηn是A对应于特征值λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量.

由定理5.2可得用正交变换X=UY化二次型f=XTAX为标准形的步骤如下.

（1）写出二次型f（x1，x2，…，xn）的矩阵A.

（2）求A的全部特征值.

（3）对于A的每一个不同的特征值λi，求出A的对应于λi的线性无关的特征向量，并分别将它们正交化、单位化，得到A的n个两两正交的单位特征向量.

（4）将A的n个两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵U，得到正交变换X=UY.

（5）写出二次型f=XTAX的标准形

[例5.3]　设二次型，求一个正交变换X=UY，将二次型化为标准形.

解　二次型的矩阵为

A的特征多项式(www.daowen.com)

故A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0.

对于λ1=λ2=2，解特征方程组（2E-A）X=0，由于

得基础解系

ξ1=(0,1,0)T,　ξ2=(1,0,1)T.

由于ξ1，ξ2正交，故只需将它们单位化，有

对于λ3=0，解特征方程组（0E-A）X=0，由于

得基础解系

ξ3=(-1,0,1)T,

将ξ3单位化，得

此时η1，η2，η3已是一个标准正交向量组，记正交矩阵

得所求正交变换X=UY，即