在解析几何中，为了研究二次齐次方程

Ax2+2Bxy+Cy2=D（A，B，C不全为零）

所表示的曲线形态，通常利用坐标旋转变换

选择适当的θ，可使上面的方程化为

其中式（5.4）称为线性变换.一般地，有

定义5.2　设x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn是两组变量，称关系式

为由变量x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的一个线性变换，其中cij∈R，i，j=1，2，…，n.

若令

其中矩阵C称为由变量x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的线性变换矩阵，则式（5.5）可以表示为

X=CY.　(5.6)

如果矩阵C可逆，则称线性变换（5.5）[或（5.6）]为可逆的线性变换（或非退化的线性变换）.如果C为正交矩阵，则称线性变换（5.5）[或（5.6）]为正交变换.

对旋转变换

由于线性变换矩阵(www.daowen.com)

为正交矩阵，因此这一线性变换是从x，y到x′，y′的一个正交变换.

如果对实二次型f（x1，x2，…，xn）=XTAX进行可逆线性变换X=CY，则有

其中B=CTAC，且BT=（CTAC）T=CTAC=B，从而可知YTBY是以y1，y2，…，yn为变量的一个新的n元二次型.

定义5.3　设A，B为n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得

CTAC=B,

则称矩阵A与B合同，且称B为A的合同矩阵.

由定义可知，二次型XTAX的矩阵A与经过非退化线性变换X=CY得到的新二次型YTBY的矩阵CTAC是合同关系.合同关系具有如下性质：

（1）自反性　矩阵A与A合同.

（2）对称性　如果矩阵A与B合同，则矩阵B与A合同.

（3）传递性　如果矩阵A与B合同，矩阵B与C合同，则矩阵A与C合同.

对于合同矩阵，还有如下性质.

定理5.1　若矩阵A与B合同，则R（A）=R（B）.