类似中学数学中两个向量的数量积的定义，我们可定义n维向量的内积.

定义4.4　设n维实向量，则

称为向量α和β的内积，记作（α，β），即

例如α=（1，-2，0，1）T，β=（2，0，1，3）T，则α和β的内积为

(α,β)=1×2+(-2)×0+0×1+1×3=5.

根据定义4.4和矩阵乘法，易得（α，β）=αTβ=βTα.

设α，β，γ为n维实向量，易得向量内积具有下述性质：

(1)(α,β)=(β,α).

(2)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ).

（3）（kα，β）=k（α，β），其中k为实数.

（4）（α，α）≥0，当且仅当α=0时，有（α，α）=0.

由于对任意向量α，有（α，α）≥0，因此可引入向量长度的概念.

定义4.5　对n维实向量α=（a1，a2，…，an）T，称(www.daowen.com)

为n维实向量α的长度（或模）.

例如，向量α=（4，0，3）T的长度

向量的长度具有以下性质：

（1）‖α‖≥0，当且仅当α=0时，有‖α‖=0.

（2）‖kα‖=，其中k为实数.

(3)‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.

（4）对任意两个n维实向量α，β，恒有

等号成立当且仅当α，β线性相关.

式（4.12）又称柯西不等式，它说明了任意两个n维实向量的内积与它们长度之间的关系.

长度为1的向量称为单位向量.对于任意n维非零向量α，向量显然是一个单位向量.事实上

用非零向量α的长度除非零向量α，得到一个单位向量的过程，称为将向量α单位化.