对n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使P-1AP等于对角矩阵Λ，则称方阵A可以相似对角化，这个过程称之为把方阵A相似对角化.

定理4.1　n阶方阵A能与n阶对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

证　先证必要性.设n阶方阵A能与n阶对角矩阵Λ相似，其中

则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ，即

AP=PΛ.　(4.10)

把P按列分块，设P的列向量分别为ξ1，ξ2，…，ξn，则式（4.10）可写为

有（Aξ1　Aξ2　…　Aξn）=（λ1ξ1　λ2ξ2　…　λnξn），得

Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,…,Aξn=λnξn.　(4.11)

因为P为可逆矩阵，所以ξ1，ξ2，…，ξn都是非零向量，且ξ1，ξ2，…，ξn线性无关.由式（4.11）表明λ1，λ2，…，λn是矩阵A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于特征值λ1，λ2，…，λn的线性无关的特征向量，所以A有n个线性无关的特征向量.

再证充分性.设A有n个线性无关的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，假设它们对应的特征值分别为λ1，λ2，…，λn，有

Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,…,Aξn=λnξn.

令矩阵P=（ξ1ξ2…ξn），则P为可逆矩阵，且

有

故A与对角矩阵Λ相似.

注意：从定理4.1的证明可以得到以下结论：

（1）可逆矩阵P就是以A的n个线性无关的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn作为列向量构成的矩阵.

（2）对角矩阵Λ的主对角线上的元素λ1，λ2，…，λn是方阵A的特征值，且λ1，λ2，…，λn的排列顺序与它对应的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn构成矩阵P的列向量时的排列顺序相一致.

例如，设，由本章例4.1知A有2个线性无关的特征向量，所以A一定可以相似对角化.事实上，因为A的特征值λ1=4，λ2=-2，对应的特征向量分别为，，有

如果取，则.

如果取，则.

推论　若n阶方阵A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，则方阵A一定能与对角矩阵Λ相似，其中

注意：方阵A有n个互异的特征值只是A可以相似对角化的充分条件而不是必要条件.

例如，设，由本章例4.3知A有三个线性无关特征向量

这个例子说明当A有相同的特征值时，A也可以相似对角化.所以推论只是一个充分条件而非必要条件.

又例如，设，由本章例4.2知，A只能找到二个线性无关的特征向量，所以A不能相似对角化，此时A的对应于二重特征值λ=1的线性无关的特征向量个数仅为1.

于是我们给出下述定理：(www.daowen.com)

定理4.2　n阶方阵A能与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A的每个ni重特征值λi所对应的线性无关的特征向量个数恰好是ni个.

定理4.2 也可以等价地如下表述.

定理4.3　n阶方阵A能与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每个ni重特征值λi，有R（λiE-A）=n-ni.

[例4.7]　设矩阵，试求：

（1）可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使得P-1AP=Λ.（2）Am.

解　（1）A的特征多项式

所以A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=-2.

当λ1=λ2=0时，解特征方程组（0E-A）X=0，

由

得基础解系为

当λ3=-2时，解特征方程组（-2E-A）X=0，

由

得基础解系为

于是3阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化.令

则

（2）因为P-1AP=Λ，于是A=PΛP-1，有Am=PΛmP-1.又

所以

注意：把矩阵A先相似对角化再求Am，是计算矩阵的高次幂的基本方法之一.

[例4.8]　已知3阶方阵可以与对角矩阵相似，求x的值.

解　A的特征多项式

所以A的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=1.

对应单根λ1=-1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可以相似对角化的充要条件是对应二重特征根λ2=λ3=1的线性无关的特征向量个数应为2个，则R（E-A）=1.由

知，要使R（E-A）=1，必须x=0.因此，当x=0时，A可相似对角化.