定义4.3　设A和B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得

P-1AP=B　(4.9)

成立，则称矩阵A相似于矩阵B，或称B是A的相似矩阵.

可以验证：对于，有，使得

所以A与B1相似，即与相似.

又若，有，使得

所以A与B2相似，即与相似.

由定义可得，与一个方阵A相似的方阵并不唯一，相似是方阵之间的一种关系，设A，B，C均为n阶方阵，则相似关系还具有如下三种性质：

（1）反身性　A与A相似.

（2）对称性　若A与B相似，则B与A相似.

（3）传递性　若A与B相似，且B与C相似，则A与C相似.

证　（1）取P=E，则E-1AE=A，即A与A相似.

（2）由于A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则

(P-1)-1B(P-1)=A,

即B与A相似.

（3）由于A与B相似，且B与C相似，故存在可逆矩阵P1，P2，使得

P1-1AP1=B,P2-1BP2=C,

可得

C=P2-1BP2=P2-1P1-1AP1P2=(P1P2)-1A(P1P2),

即A与C相似.

彼此相似的矩阵还具有如下性质：

性质1　相似矩阵有相同的行列式.(www.daowen.com)

证　若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，两边取行列式，得

推论　相似矩阵或同时可逆，或同时不可逆，且当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.

证　设A与B相似，由本节性质1，知，所以A与B或同时可逆，或同时不可逆.

现设A与B均可逆，因为A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得

P-1AP=B,

两边取逆，得

B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1P,

即A-1与B-1相似.

性质2　相似矩阵有相同的特征多项式和特征值.

证　设A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，故

即A与B有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值.

性质3　相似矩阵有相同的秩.

证　设A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，由2.6节定理2.7的推论2得R（A）=R（B）.

注意：上述三条性质为矩阵相似的必要条件而非充分条件.例如矩阵，B=，它们有相同的特征值λ1=λ2=1，但A与B不相似.事实上，若B与A相似，则存在可逆矩阵P，使得

A=P-1BP=P-1EP=E

与A≠E矛盾，所以A与B不相似.此例表明：单位矩阵只与自己相似.进一步讨论还可得：数量矩阵也只与自己相似.

由上面的讨论知道，相似矩阵具有很多共同的性质.对于n阶方阵A，自然希望找到一个既简单又便于计算的与A相似的矩阵.但由上面的讨论已经知道单位矩阵和数量矩阵都只能与自己相似，退而求其次，我们考虑比数量矩阵稍微复杂一些的“最简单”的矩阵，这就是对角矩阵.下面讨论一个n阶方阵A能否与一个对角矩阵相似的问题，即所谓的矩阵相似对角化问题，具体地说，就是讨论如下问题：

（1）是否所有的方阵都能与对角矩阵相似？若不能，则需满足怎样的条件，才能使一个方阵与一个同阶对角矩阵相似？

（2）如果一个方阵能与一个同阶对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，那么怎样求得可逆矩阵P？

（3）如果一个方阵能与一个同阶对角矩阵相似，那么此对角矩阵的具体形式是什么？