1.设A是m×n矩阵，且R（A）=m，证明非齐次线性方程组AX=b一定有解.

2.设非齐次线性方程组

的系数矩阵为A，记矩阵

已知R（A）=R（B），证明该线性方程组有解.

3.设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量组，且α1≠0，已知

Aα1=α1,Aα2=α1+α2,Aα3=α2+α3

线性无关，证明：向量组α1，α2，α3线性无关.

4.设向量组ξ1，ξ2，…，ξr是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量ξ不是方程组AX=0的解，证明：ξ，ξ+ξ1，ξ+ξ2，…，ξ+ξr线性无关.

5.已知A，B为同阶方阵，证明：R（A+B）≤R（A︙B）≤R（A）+R（B）.

6.证明：R（AAT）=R（A）.(www.daowen.com)

7.设A为n阶矩阵，证明：

（1）若A2=E，则R（A+E）+R（A-E）=n；

（2）若A2=A，则R（A）+R（A-E）=n.

8.若A为n阶矩阵（n≥2），证明：

（1）当R（A）=n时，R（A*）=n；

（2）当R（A）=n-1时，R（A*）=1；

（3）当R（A）＜n-1时，R（A*）=0.

9.已知η是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其相应齐次线性方程组AX=0的一个基础解系.证明：η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξr是方程组AX=b的解向量组的极大线性无关组.