非齐次线性方程组（3.1）的矩阵形式为

Am×nXn×1=bm×1　(3.22)

令式（3.22）中的向量b为零向量得到的方程组

Am×nXn×1=0　(3.23)

称为非齐次线性方程组（3.22）的相应的齐次线性方程组.

易得非齐次线性方程组（3.22）的解具有以下性质：

性质1　若η1，η2为非齐次线性方程组（3.22）的两个解向量，则η1-η2为其相应齐次线性方程组（3.23）的解向量.

性质2　若η0为非齐次线性方程组（3.22）的解向量，ξ是其相应齐次线性方程组（3.23）的解向量，则η0+ξ为方程组（3.22）的解向量.

定理3.14　如果η0为非齐次线性方程组（3.22）的一个解向量，ξ1，ξ2，…，ξn-r是其相应齐次线性方程组（3.23）的基础解系，则

X=η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r　(3.24)

为方程组（3.22）的全部解，其中k1，k2，…，kn-r为任意常数.

证　设X是方程组（3.22）的任一解，因η0为方程组（3.22）的解，则X-η0是方程组（3.22）相应的齐次线性方程组（3.23）的解，从而X-η0可由方程组（3.23）的基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，即存在常数k1，k2，…，kn-r，使得

X-η0=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r

即

X=η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r

至此，非齐次线性方程组（3.22）的解的结构也完全清楚了.当方程组有无穷多解时，我们只需分以下两步解决：

（1）求非齐次线性方程组（3.22）相应的齐次线性方程组（3.23）的全部解；

（2）求非齐次线性方程组（3.22）的一个解.

则相应齐次方程组（3.23）的全部解与非齐次方程组（3.22）的一个解之和即为非齐次方程组（3.22）的全部解.

不难观察到，在本章3.1中利用消元法得到非齐次线性方程组的一般解，将其改写为向量形式表示后即为式（3.24）.

[例3.22]　求非齐次线性方程组

的全部解（向量形式）.

解　对方程组的增广矩阵施以初等行变换

得R（）=R（A）=2＜4，所以方程组有无穷多解，并得同解方程组为(www.daowen.com)

令x2=k1，x3=k2，得方程组的一般解为

取k1=0，k2=0，得非齐次线性方程组的一个解.

原方程组相应的齐次方程组的同解方程为

取，可得相应的齐次方程组的基础解系

所以原方程组的通解为X=η0+c1ξ1+c2ξ2，其中c1，c2为任意常数.

或：从得到原方程组的一般解后，将一般解改写为如下向量形式

此即为原方程组的全部解，其中k1，k2为任意常数.

[例3.23]　设线性方程组为

试问：当λ为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解，并在有无穷多解时求其通解.

解　对方程组的增广矩阵施以初等行变换

由此可知：

（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（）=R（A）=3，方程组有唯一解；

（2）当λ=0时，R（A）=1，R（）=2，R（A）≠R（），方程组无解；

（3）当λ=-3时，R（A）=R（）=2＜3，方程组有无穷多解.

此时

得同解方程组为

令x3=k，得通解为

则方程组当λ=-3时的通解为，其中k为任意常数.

[例3.24]　设AX=b是四元非齐次线性方程组，R（A）=3，已知η1，η2，η3是方程组的三个解向量，且满足

求AX=b的通解.

解　因R（A）=3＜n=4，且η1，η2，η3是方程组AX=b的三个解向量，因此该方程组有无穷多解，且其相应的齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量.已知非齐次方程组的一个解η1，故只需求得其相应的齐次线性方程组的基础解系ξ.由齐次及非齐次线性方程组解的性质，可取

所以原方程的通解为，其中k为任意常数.