齐次线性方程组（3.3）的矩阵形式为

Am×nXn×1=0　(3.17)

若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn是齐次线性方程组（3.17）的解，则ξ=（c1，c2，…，cn）T称为方程组（3.17）的解向量，简称为方程组（3.17）的解.

易得齐次方程组（3.17）的解具有下列性质：

性质1　若ξ1，ξ2为齐次线性方程组（3.17）的两个解，则ξ1+ξ2也是它的解.

性质2　若ξ为齐次线性方程组（3.17）的解，k为常数，则kξ也是它的解.

由性质1、性质2可知，如果方程组（3.17）有解ξ1，ξ2，…，ξt，则它们的一个线性组合

k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt

也是方程组（3.17）的解，其中k1，k2，…，kt是任意常数.基于此，我们考虑：当线性方程组（3.17）有非零解时，能否找到解向量组（有无穷多个解组成）的一个极大无关组，那么方程组的全部解就可由该极大无关组来线性表示了.为此我们引入齐次线性方程组基础解系的概念.

定义3.9　设ξ1，ξ2，…，ξt是齐次线性方程组（3.17）的解向量，若其满足：

（1）ξ1，ξ2，…，ξt线性无关.

（2）齐次线性方程组（3.17）的任一解向量都能由ξ1，ξ2，…，ξt线性表示.

则称向量组ξ1，ξ2，…，ξt为齐次线性方程组（3.17）的基础解系.

显然，齐次线性方程组的解向量组的极大无关组即为方程组的基础解系；当然线性方程组的基础解系是不唯一的.

定理3.13　如果齐次线性方程组（3.17）的系数矩阵的秩R（A）=r＜n，则方程组（3.17）的基础解系一定存在，且每个基础解系中恰含有n-r个解向量.

证*　因R（A）=r＜n，由本章1.2中的讨论知，对齐次线性方程组（3.17）的系数矩阵进行初等行变换（必要时在记住未知量的顺序时可进行交换两列的变换），则系数矩阵可化为形如

的矩阵.得方程组（3.17）的解为

其中xr+1，xr+2，…，xn为自由未知量.

对自由未知量xr+1，xr+2，…，xn分别取值

将式（3.20）分别代入式（3.18）的右端，可得齐次线性方程组（3.17）的n-r个解向量

下面证明解向量组ξ1，ξ2，…，ξn-r就是齐次线性方程组的一个基础解系.

首先，因为式（3.20）的向量组线性无关，由定理3.7知，该向量的接长向量组ξ1，ξ2，…，ξn-r也线性无关.

其次，证明齐次线性方程组（3.17）的任意一个解向量

X=(d1,d2,…,dn)T

都可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示.X=（d1，d2，…，dn）T满足式（3.19），即

令

则是齐次线性方程组（3.17）的解，且

由式（3.21），得X-=0，即(www.daowen.com)

X=dr+1ξ1+dr+2ξ2+…+dnξn-r

所以方程组（3.17）的任一解X可由ξ1，ξ2，…，ξn-r的线性表示，即ξ1，ξ2，…，ξn-r是齐次线性方程组（3.17）的基础解系，且含有n-r个解向量.

对方程组（3.17）不同的基础解系，由基础解系的定义知它们是等价的线性无关向量组，再由定理3.10的推论2得，它们所含向量的个数相等，所以齐次线性方程组（3.17）的任一基础解系都恰好含有n-r个解向量.

至此，齐次线性方程组（3.17）的解的结构完全清楚了.当方程组（3.17）有非零解时，我们只需找到方程组的基础解系，则方程组的任意解都可由其基础解系线性表示.如何找到解向量组的基础解系呢？定理3.13的证明过程实际已给出了基础解系的求法：

（1）利用消元法求得齐次线性方程组的一般解.

（2）将一般解中的n-r个自由未知量组成的向量组分别取为n-r维的坐标单位向量组[如式（3.20）]，确定其余的r个分量后得到的n-r个解向量即为方程组的基础解系.

[例3.18]　求齐次线性方程组

的基础解系与通解.

解　对方程组的系数矩阵A作初等行变换

得同解方程组为

取，得方程组的基础解系为

从而得方程组的通解为X=k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2是任意常数.

[例3.19]　求齐次线性方程组

的基础解系与通解.

解　对方程组的系数矩阵A进行初等行变换

得同解方程组为

取，得方程组的基础解系为

从而得方程组的通解为X=k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2是任意常数.

[例3.20]　设ξ1，ξ2是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明ξ1+ξ2，kξ2也是该方程组的基础解系，其中k≠0.

证　由齐次线性方程组解的性质，知ξ1+ξ2，kξ2也是方程组AX=0的两个解.又ξ1，ξ2是方程组的基础解系，所以ξ1，ξ2线性无关.而当k≠0时，向量组ξ1+ξ2，kξ2与向量组ξ1，ξ2等价，则ξ1+ξ2，kξ2线性无关，因此ξ1+ξ2，kξ2是齐次方程组的基础解系.

[例3.21]　设A，B都是n阶矩阵，且AB=0，证明R（A）+R（B）≤n.

证　当R（A）=n时，A为可逆矩阵，则有B=0，所以R（A）+R（B）=n.

当R（A）=r＜n时，设矩阵B=(β1，β2，…，βn），则

AB=A(β1,β2,…,βn)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβn)=0

即有

Aβj=0,j=1,2,…,n

上式表明矩阵B的列向量组β1，β2，…，βn都是齐次线性方程组AX=0的解向量；因为R（A）=r＜n，由定理3.13，方程组AX=0的基础解系恰含有n-r个解向量，因而有R（B）≤n-r，所以R（A）+R（B）≤n.