一个向量组可以包含多个向量，也可以包含无穷多个向量；我们在研究向量组中的向量间的关系时，希望能找到向量组的一个部分组，该部分组能够“代表”整个向量组，且能够“代表”这个向量组的性质.而对给定的一个向量组，只要其中的向量不全是零向量，总能找到该向量组中由若干个向量构成的部分组是线性无关的，而所有包含这个部分组的向量组则一定线性相关.例如，对所有的n维向量，坐标单位向量组就起到了这样的作用：任一n维向量能由e1，e2，…，en线性表示，且e1，e2，…，en是线性无关的，如再增加一个n维向量则必定线性相关.这样的部分组就是下面要定义的向量组的极大无关组.

定义3.7　设α1，α2，…，αr是向量组A的部分组，如果满足：

（1）α1，α2，…，αr线性无关，

（2）从向量组A中任意取一个向量（如还有的话）加入该部分组，此含有r+1个向量的向量组都线性相关，则称向量组α1，α2，…，αr为向量组A的极大线性无关组，简称极大无关组.

显然，一个线性无关向量组的极大无关组就是该向量组本身.全由零向量组成的向量组是没有极大无关组的.

例如，设向量组α1=（1，0）T，α2=（0，1）T，α3=（1，1）T，易得α1，α2线性无关，α1，α2，α3线性相关，则α1，α2是向量组α1，α2，α3的极大无关组.另外，我们容易发现α2，α3及α1，α3也是向量组α1，α2，α3的极大无关组，因此知一个向量组的极大无关组一般不唯一；而且也可发现α1，α2，α3的三个极大无关组中所含的向量个数相等，而这并不是偶然的.

定理3.11　（1）向量组与它的极大无关组等价.

（2）向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相等.

证　（1）设向量组A有极大无关组α1，α2，…，αs.由定义3.7，向量组A中的任一向量γ与向量组α1，α2，…，αs组成的s+1个向量线性相关，而α1，α2，…，αs线性无关，由定理3.9，向量γ可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，即向量组A可由向量组α1，α2，…，αs线性表示.反之，向量组α1，α2，…，αs是向量组A的一个部分组，向量组α1，α2，…，αs当然能由向量组A线性表示.所以向量组A与它的极大无关组α1，α2，…，αs等价.

（2）设向量组A有两个极大无关组，分别为α1，α2，…，αs及β1，β2，…，βt.由（1）知，向量组α1，α2，…，αs与向量组A等价，向量组A也与向量组β1，β2，…，βt等价，由等价的传递性可得，向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βt等价.

再证明s=t.因为向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βt等价，且向量组α1，α2，…，αs及β1，β2，…，βt都线性无关，由定理3.10的推论2得，s=t.

定义3.8　向量组α1，α2，…，αn的极大无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩，记为R（α1，α2，…，αn）.

若将一个向量组组成矩阵，那么该矩阵的秩与该向量组的秩实际是相等的.

定理3.12　矩阵的秩=矩阵的列向量组的秩（称为矩阵的列秩）=矩阵的行向量组的秩（称为矩阵的行秩）.

证　因为矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等，故只需证明矩阵的秩与其列秩相等即可.

设矩阵A=（aij）m×n，A的列向量组记为α1，α2，…，αn，其中

αj=(a1j,a2j,…,amj)T,j=1,2,…,n,

且R（A）=r，则矩阵A中存在r阶子式不等于零且所有r+1阶及以上的子式（如果有的话）均等于零.不妨设矩阵的前r行r列组成的r阶子式

则该子式的r列组成的r维列向量组β1，β2，…，βr（其中βj=（a1j，…，arj）T，j=1，2，…，r）必线性无关，由定理3.7可得α1，α2，…，αr线性无关.所以向量组α1，α2，…，αn的秩R（α1，α2，…，αn）≥r=R（A）.

再证向量组α1，α2，…，αn的秩R（α1，α2，…，αn）≤R（A）=r.

用反证法.假设R（α1，α2，…，αn）＞r，不妨设R（α1，α2，…，αn）=r+1，即向量组α1，α2，…，αn中有r+1个向量可组成一个线性无关的向量组，为了方便，不妨设这r+1个向量为α1，α2，…，αr+1，则这r+1个向量所组成的矩阵必存在一个r+1阶子式Dr+1≠0，即在矩阵A中存在一个r+1阶子式Dr+1≠0，可得矩阵A的秩R（A）≥r+1，与R（A）=r矛盾.所以R（α1，α2，…，αn）≤r=R（A）.

综上可得R（α1，α2，…，αn）=R（A）.

我们还可以得到如下结论：如果对列向量组α1，α2，…，αn组成的矩阵A施以行初等变换得到矩阵B，记B的列向量组为β1，β2，…，βn，则矩阵A与矩阵B的列向量组有相同的线性关系.

事实上，对矩阵A施以行初等变换得到矩阵B，则存在可逆矩阵P，使PA=B，即

P(α1,α2,…,αn)=(Pα1,Pα2,…,Pαn)=(β1,β2,…,βn)

可得βi=Pαi，i=1，2，…，n.假设向量组α1，α2，…，αn的向量间的线性关系可表示为

k1α1+k2α2+…+knαn=0　(3.15)

等式两边左乘矩阵P，得

k1Pα1+k2Pα2+…+knPαn=0

即

k1β1+k2β2+…+knβn=0　(3.16)

（3.15）与（3.16）说明向量组α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn有相同的线性关系.(www.daowen.com)

至此，我们可给出求一个列向量组的极大无关组及秩的方法：将此列向量组组成矩阵，并对其进行初等行变换使之成为行阶梯形矩阵，则该矩阵的秩即为所求列向量组的秩，此行阶梯形矩阵的非零行的第一个非零元所在的列向量组成的向量组即为所求列向量组的一个极大无关组.

[例3.14]　求向量组

α1=(1,2,2,3)T,　α2=(1,-1,-3,6)T,　α3=(-2,-1,1,-9)T,　α4=(1,1,-1,6)T

的秩和一个极大无关组，并求其余向量用该极大无关组线性表示的表达式.

解　记矩阵A=（α1，α2，α3，α4），用初等行变换把A化为行阶梯形矩阵，即

得R（A）=3，所以向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3.

因为矩阵A变换后的非零行首非零元对应的向量为α1，α2，α4，所以向量组α1，α2，α3，α4的一个极大无关组为α1，α2，α4.

再求α3由α1，α2，α4线性表示的表达式.设α3=k1α1+k2α2+k3α4，利用上述矩阵A的初等行变换过程，只需将α3与α4的列交换后得

解得k1=-1，k2=-1，k3=0，所以α3=-α1-α2.

[例3.15]　证明：如果向量组A能由向量组B线性表示，那么向量组A的秩不大于向量组B的秩.

证　设向量组A的一个极大无关组为α1，α2，…，αr，向量组B的秩为s，只要证r≤s.

因为向量组A能由向量组B线性表示，而向量组A的极大无关组α1，α2，…，αr能由向量组A线性表示，所以向量组A的极大无关组α1，α2，…，αr能由向量组B线性表示，再由定理3.10的推论1，可得r≤s.

从例3.15不难得出结论：等价向量组的秩必相等.

[例3.16]　设A是m×n矩阵，B为n×s矩阵，证明：R（AB）≤min{R（A），R（B）}.

证　设A=（α1，α2，…，αn），B=（bij）n×s，及AB=C=（γ1，γ2，…，γs），则

从而

γj=b1jα1+b2jα2+…+bnjαn,(j=1,2,…,s)

上式表明，向量组γ1，γ2，…，γs可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，由例3.16，得

R(γ1,γ2,…,γs)≤R(α1,α2,…,αn)

即R（AB）≤R（A）.

又R（AB）=R（（AB）T）=R（BTAT）≤R（BT）=R（B），从而得R（AB）≤R（B）.

综上可得，R（AB）≤min{R（A），R（B）}.

[例3.17]　设A，B是m×n矩阵，证明：R（A±B）≤R（A）+R（B）.

证　记A=（α1，α2，…，αn），B=（β1，β2，…，βn），则

A±B=(α1±β1,α2±β2,…,αn±βn)

显然向量组α1±β1，α2±β2，…，αn±βn能由向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn线性表示，所以

R(A±B)=R(α1±β1,α2±β2,…,αn±βn)≤R(α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn)

又

R(α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn)≤R(α1,α2,…,αn)+R(β1,β2,…,βn)=R(A)+R(B)

所以R（A±B）≤R（A）+R（B）.