1.判断下列说法是否正确，正确的加以说明，不正确的请举反例.

（1）若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关.

（2）若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1-α2，α2-α3，α3-α1线性无关.

（3）若向量组α1，α2，…，αn线性相关，则α1可由向量组α2，…，αn线性表示.

（4）若向量组α1，α2线性无关，向量组β1，β2也线性无关，则向量组α1+β1，α2+β2也线性无关.

2.已知向量α1=（1，-1，4）T，α2=（0，1，2）T，α3=（-2，0，3）T，求：

(1)2α1-α2+3α3.　(2)3(2α1-α2)-(2α2+α3)+2(α1+α2-3α3).

(3)(α1　α2　α3)(2,-1,3)T.　(4)(2α1-α2　2α2+α3　α1+α2-3α3)(3,-1,2)T.

3.求下列各题中向量β表示为其余向量的线性组合.

(1)β=(3,5,-6)T,α1=(1,0,1)T,α2=(1,1,1)T,α3=(0,-1,-1)T.

(2)β=(4,11,11)T,α1=(2,3,3)T,α2=(-1,4,-2)T,α3=(-1,-2,4)T.

(3)β=(1,2,2,1)T,α1=(2,1,5,-3)T,α2=(3,0,8,-7)T.

4.判别下列向量组的线性相关性.

(1)α1=(2,0,3)T,α2=(1,-1,-2)T,α3=(-3,1,0)T.(www.daowen.com)

(2)α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(0,1,-1)T,α4=(2,1,-1)T.

(3)α1=(2,-1,5,-3)T,α2=(5,2,1,-2)T,α3=(1,2,-2,1)T,α4=(2,2,3,-1)T.

(4)α1=(3,4,2,0)T,α2=(-2,0,1,4)T,α3=(1,8,7,-4)T.

5.已知向量组α1，α2，α3线性无关，利用定义证明向量组α1，α1+α2，α1+α2+α3也线性无关.

6.已知向量组α1，α2，α3，α4线性相关，而向量组α2，α3，α4，α5线性无关，证明α1可由向量组α2，α3，α4线性表示，但α5不能由向量组α1，α2，α3线性表示.

7.已知向量组α1=（k，2，1）T，α2=（2，k，0）T，α3=（1，-1，1）T，试讨论向量组α1，α2，α3的线性相关性.

8.已知向量组B：β1，β2，β3由向量组A：α1，α2，α3线性表示的表示式为

β1=α1-α2+α3,β2=α1+α2-α3,β3=-α1+α2+α3

试验证向量组A与向量组B等价.

9.设向量组α1，α2，α3线性无关，且已知

β1=mα1+α2+nα3,β2=α1+nα2+(n+1)α3,β3=α1+α2+α3

试问：（1）m，n满足何种关系时，β1，β2，β3线性无关？　（2）m，n满足何种关系时，β1，β2，β3线性相关？